A velocidade de uma partícula de massa m varia com a distância x da forma v(x)=b x^-n, c o m condições iniciais v(0)=0 quando t=0. a) Ache a força F(x). b) Ache x(t). Resp: a) F(x)=-m n b^2 x^-(2 n+1) b) x(t)=[(n+1) b t]^1 /(n+1)

Passo 1

Então, temos uma partícula de massa cuja velocidade varia com a distância de acordo com a fórmula , onde e são constantes. As condições iniciais dizem que quando , a velocidade no tempo . Vamos usar conceitos de dinâmica para achar a força e a posição em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força F = m cdot a que atua em uma partícula é dada pela segunda lei de Newton:
onde é a aceleração da partícula.

Passo 3

A aceleração a = dvdt é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
dvdt = dvdx cdot dxdt = dvdx cdot v
Mas como a velocidade está expressa em função de , precisamos usar a regra da cadeia para derivar em relação ao tempo:

Passo 4

Vamos calcular v(x) = b , x^-n implies dvdx = -n , b , x^-(n+1) a partir da expressão de a = -n , b , x^-(n+1) cdot b , x^-n = -n , b^2 , x^-(2n+1) :
Substituindo na expressão da aceleração:

Passo 5

Agora, aplicamos a segunda lei de Newton para encontrar a força:
F(x) = m cdot a = m cdot (-n , b^2 , x^-(2n+1)) = -m n b^2 x^-(2n+1)

Passo 6

Para encontrar v = dxdt = b , x^-n , precisamos resolver a equação da velocidade. Sabemos que:
x^n , dx = b , dt
Vamos separar as variáveis e integrar:
integral x^n , dx = integral b , dt implies x^n+1n+1 = b t + C
Integrando ambos os lados:
x^n+1n+1 = b t implies x^n+1 = (n+1) b t implies x(t) = ( (n+1) b t )^1n+1
Considerando a condição inicial , a constante . Portanto:

Resposta

a) A força é
b) A posição em função do tempo é

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