A velocidade de uma partícula de massa
varia com a distância
da forma
condições iniciais
quando
. a) Ache a força
. b) Ache
. Resp: a)
b)
Passo 1
Então, temos uma partícula de massa
cuja velocidade varia com a distância
de acordo com a fórmula
, onde
e
são constantes. As condições iniciais dizem que quando
, a velocidade
no tempo
. Vamos usar conceitos de dinâmica para achar a força
e a posição
em função do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força
que atua em uma partícula é dada pela segunda lei de Newton:
onde
é a aceleração da partícula.
Passo 3
A aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Mas como a velocidade
está expressa em função de
, precisamos usar a regra da cadeia para derivar em relação ao tempo:
Passo 4
Vamos calcular
a partir da expressão de
:
Substituindo na expressão da aceleração:
Passo 5
Agora, aplicamos a segunda lei de Newton para encontrar a força:
Passo 6
Para encontrar
, precisamos resolver a equação da velocidade. Sabemos que:
Vamos separar as variáveis e integrar:
Integrando ambos os lados:
Considerando a condição inicial
, a constante
. Portanto:
Resposta
a) A força é
b) A posição em função do tempo é
Exercícios relacionados
Uma partícula de massa
tem velocidade dada por
, onde
é sua posição
. Calcule a força sobre ela. Resp:
Um bote com velocidade inicial
é lançado em um lago. O bote sofre uma força de arrasto da água dada por
, a e b constantes. Ache a)
e b)calcule o tempo até parar.
Resp: a)v .
Resp: a)v
Deduza a expressão para
e
para um corpo se movendo em uma superfície horizontal sujeito à uma força de arrasto quadrática, ou seja, da forma
. Resp:
e
.
, onde
Mostre que o rotacional do gradiente de qualquer campo escalar é nulo.