A velocidade de uma partícula de massa varia com a distância da forma condições iniciais quando . a) Ache a força . b) Ache . Resp: a) b)

Passo 1

Então, temos uma partícula de massa cuja velocidade varia com a distância de acordo com a fórmula , onde e são constantes. As condições iniciais dizem que quando , a velocidade no tempo . Vamos usar conceitos de dinâmica para achar a força e a posição em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força que atua em uma partícula é dada pela segunda lei de Newton:
onde é a aceleração da partícula.

Passo 3

A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Mas como a velocidade está expressa em função de , precisamos usar a regra da cadeia para derivar em relação ao tempo:

Passo 4

Vamos calcular a partir da expressão de :
Substituindo na expressão da aceleração:

Passo 5

Agora, aplicamos a segunda lei de Newton para encontrar a força:

Passo 6

Para encontrar , precisamos resolver a equação da velocidade. Sabemos que:
Vamos separar as variáveis e integrar:
Integrando ambos os lados:
Considerando a condição inicial , a constante . Portanto:

Resposta

a) A força é
b) A posição em função do tempo é

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