Um teste de impacto foi feito em 20 corpos de prova de tubo de PVC. A média da amos- tra é de 1,25 libra-pé por polegada e o desvio padrão da amostra é 0,25 libra-pé por polegada. Supondo que o comprimento de impacto pode ser representado por uma função densidade de probabilidade da distribuição normal, é possível sustentar a afirmação de que o comprimento médio de impacto é abaixo do padrão ASTM (uma libra-pé por polegada)? Considere um nível de significância de
. (Resposta: Não rejeitar
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um teste onde medimos o comprimento de impacto de 20 tubos de PVC. A média da amostra foi de 1,25 libra-pé por polegada, com um desvio padrão de 0,25 libra-pé por polegada. A pergunta é: será que essa média está abaixo do padrão da ASTM, que é 1 libra-pé por polegada? A gente vai usar estatística, mais especificamente o teste de hipótese para a média, assumindo que a distribuição é normal. Precisamos determinar se a média da amostra é significativamente menor que 1, usando um nível de significância de 2%.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as hipóteses que queremos testar. A hipótese nula (H₀) geralmente representa o status quo ou a afirmação que queremos testar contra. A hipótese alternativa (H₁) é o que queremos provar.
- H₀: μ ≥ 1 (A média é maior ou igual ao padrão)
- H₁: μ < 1 (A média é menor que o padrão)
Aqui, nossa ideia é ver se a média realmente caiu abaixo do padrão da ASTM.
Passo 3
Agora, vamos escolher o teste estatístico adequado. Como estamos lidando com a média de uma amostra pequena (n = 20) e o desvio padrão da população não é conhecido, usamos o t-teste para uma amostra.
A fórmula do t-teste é:
Onde:
-
é a média da amostra -
é a média hipotética (1 libra-pé por polegada) -
é o desvio padrão da amostra -
é o tamanho da amostra
Passo 4
Vamos calcular o valor do t com os números que temos. Primeiro, identificamos os valores:
Substituindo na fórmula:
Vamos calcular o denominador primeiro:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor crítico do t para o nosso nível de significância e graus de liberdade. Como o nível de significância é de 2% (
) e estamos fazendo um teste unilateral (queremos saber se é menor), procuramos o valor crítico para
com
.
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora estatística, encontramos que o valor crítico é aproximadamente -2,539 (o negativo porque estamos fazendo um teste unilateral à esquerda).
Passo 6
Comparamos nosso valor calculado de t com o valor crítico. Nosso t calculado foi de aproximadamente 4,46.
Como 4,46 é maior que -2,539, isso significa que não estamos na região de rejeição da hipótese nula.
Passo 7
Por fim, tomamos a decisão baseada na comparação. Como o t calculado não está na região de rejeição, não rejeitamos H₀.
Resposta
Não rejeitar H₀.
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. (Resposta: Rejeitar
)