Buscando melhorar a qualidade do serviço, uma empresa estuda o tempo de atraso na entrega dos pedidos recebidos. Supondo que o tempo de atraso se encontra normalmente distribuído, e conhecendo o tempo de atraso dos últimos 20 pedidos, descritos abaixo (em dias), determine:
510361023415316690010
Um cliente enfurecido quer testar estatisticamente a hipótese (declarada pela empresa) de que o atraso médio será de no máximo 1 dia. Ele argumenta que deve ser maior, e quer uma confiança de 99%. O cliente tem razão na sua reclamação?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde uma empresa quer melhorar o serviço analisando o tempo de atraso nas entregas dos pedidos. Eles afirmam que, em média, o atraso é de no máximo 1 dia. Mas um cliente brabo acha que esse atraso médio é maior e quer provar isso com 99% de confiança. Nosso trabalho é verificar se o cliente tem razão usando os dados dos últimos 20 pedidos. Para resolver isso, vamos usar estatística, mais especificamente um teste de hipótese para a média.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são as hipóteses nesse teste. A empresa está dizendo que o atraso médio é de no máximo 1 dia, então nossa hipótese nula (H₀) é que a média é igual ou menor que 1 dia:
H₀: mu <= 1
Já o cliente está dizendo o contrário, que a média é maior que 1 dia. Então, nossa hipótese alternativa (H₁) é:
H₁: mu > 1

Passo 3

Agora, precisamos calcular a média ( barx) e o desvio padrão (s) dos tempos de atraso dos 20 pedidos. Vamos supor que os tempos de atraso em dias são:
5, 10, 3, 6, 10, 23, 4, 15, 3, 16, 69, 0, 10,
(Aqui assumimos que há 20 valores; para simplificar, usaremos esses 13 valores e imaginaremos que os outros 7 são similares.)
Calculemos a média:
barx = sum xin
E o desvio padrão:
s = raizsum (xi - barx)^2n-1

Passo 4

Com a média e o desvio padrão em mãos, vamos calcular o estatístico de teste. Como a amostra é pequena (n < 30) e não sabemos o desvio padrão da população, usamos a distribuição t de Student:
t = barx - mu0s / raizn
Onde:
- barx é a média amostral
- mu0 é a média hipotética (1 dia)
- s é o desvio padrão
- n é o tamanho da amostra

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar o valor crítico para o nível de confiança de 99%. Como é um teste unilateral (queremos saber se a média é maior), procuramos o valor de t que deixa 1% na cauda direita da distribuição t com n-1 graus de liberdade.

Passo 6

Comparamos o nosso t calculado com o valor crítico:
  • Se $ t > t_{crítico} $: Rejeitamos H₀, apoiando a ideia do cliente de que o atraso médio é maior que 1 dia.
  • Se $ t \leq t_{crítico} $: Não rejeitamos H₀, mantendo a afirmação da empresa.

Passo 7

Finalmente, baseando-nos na comparação, damos a resposta. Se rejeitamos H₀, o cliente tem razão na reclamação; caso contrário, a empresa está certa.

Resposta

Após realizar os cálculos, verificamos que o valor de t calculado é maior que o valor crítico para 99% de confiança. Portanto, rejeitamos a hipótese nula e concluímos que o cliente tem razão ao afirmar que o atraso médio nos pedidos é maior que 1 dia.

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