A bússola de um avião mostra que ele se desloca do sul para o norte, e seu indicador de velocidade do ar mostra que ele está se movendo no ar com velocidade igual a 240 Km / h. (a) Se existe um vento de 100 Km / h de oeste para leste, qual é a velocidade do avião em relação à Terra? (b) Em que direção o piloto deve inclinar o avião para que ele siga de sul para o norte? Qual seria então sua velocidade em relação à Terra?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um avião que está se movendo do sul para o norte, com uma velocidade em relação ao ar de . Além disso, existe um vento soprando de oeste para leste a . A matéria que vamos usar aqui é de Vetores e Movimento Relativo. Para resolver, vamos precisar somar vetores para encontrar a velocidade resultante do avião em relação à Terra e também determinar em que direção o piloto deve inclinar o avião para seguir exatamente de sul para norte, compensando o vento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os vetores envolvidos. Temos dois vetores:
  1. Velocidade do avião em relação ao ar ( ): na direção norte.
  2. Velocidade do vento ( ): na direção leste.
Como o vento está soprando de oeste para leste, ele vai afetar a trajetória do avião, empurrando-o para o leste enquanto ele tenta ir para o norte.

Passo 3

Para encontrar a velocidade do avião em relação à Terra ( VTerra = Vav + Vvento ), precisamos somar vetorialmente a velocidade do avião em relação ao ar e a velocidade do vento:
Isso é basicamente aplicar a Lei dos Paralelogramos para vetores.

Passo 4

Vamos decompor os vetores nas suas componentes:
  • Velocidade do avião em relação ao ar:
    • Norte (y):
    • Leste (x):
  • Velocidade do vento:
    • Norte (y):
    • Leste (x):

Passo 5

Somando as componentes:
  • Componente leste (x):
VTerra,x = 0 + 100 = 100 , Km/h
  • Componente norte (y):
VTerra,y = 240 + 0 = 240 , Km/h

Passo 6

Agora, vamos calcular a magnitude da velocidade resultante usando o teorema de Pitágoras:
|VTerra| = raiz(VTerra,x)^2 + (VTerra,y)^2 = raiz100^2 + 240^2 = raiz10000 + 57600 = raiz67600 = 260 , Km/h

Passo 7

Para achar a direção da velocidade em relação à Terra, calculamos o ângulo tan(theta) = VTerra,xVTerra,y = 100240 Rightarrow theta = arctan(100240) approx 22,62^circ em relação ao norte usando a função tangente:
Isso significa que a trajetória está desviada para o leste em relação ao norte.

Passo 8

Agora, para a parte (b), queremos que o avião siga exatamente de sul para norte em relação à Terra, ou seja, queremos que a velocidade resultante em relação à Terra seja apenas na direção norte, sem componente leste.
Isso significa que o piloto precisa inclinar o avião um pouco para o oeste para contrabalançar o vento leste.

Passo 9

Chamemos o ângulo que o piloto deve inclinar o avião de Vav,x = -Vvento = -100 , Km/h . Nesse caso, a componente leste do avião em relação ao ar deve ser igual e oposta à do vento para que se cancelem:
Vav,y = raizVav^2 - Vav,x^2 = raiz240^2 - 100^2 = raiz57600 - 10000 = raiz47600 approx 218,17 , Km/h
A magnitude total da velocidade do avião em relação ao ar é , então:

Passo 10

Agora, calculamos o ângulo tan(alpha) = Vav,xVav,y = 100218,17 Rightarrow alpha = arctan(100218,17) approx 24,23^circ :
Então, o piloto deve inclinar o avião aproximadamente para o oeste.

Resposta

(a) A velocidade do avião em relação à Terra é de na direção a leste do norte.
(b) O piloto deve inclinar o avião aproximadamente para o oeste para que ele siga exatamente de sul para norte. Com esse ajuste, a velocidade do avião em relação à Terra será de na direção norte.

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