A bússola de um avião mostra que ele se desloca do sul para o norte, e seu indicador de velocidade do ar mostra que ele está se movendo no ar com velocidade igual a
. (a) Se existe um vento de
de oeste para leste, qual é a velocidade do avião em relação à Terra? (b) Em que direção o piloto deve inclinar o avião para que ele siga de sul para o norte? Qual seria então sua velocidade em relação à Terra?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um avião que está se movendo do sul para o norte, com uma velocidade em relação ao ar de
. Além disso, existe um vento soprando de oeste para leste a
. A matéria que vamos usar aqui é de Vetores e Movimento Relativo. Para resolver, vamos precisar somar vetores para encontrar a velocidade resultante do avião em relação à Terra e também determinar em que direção o piloto deve inclinar o avião para seguir exatamente de sul para norte, compensando o vento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os vetores envolvidos. Temos dois vetores:
- Velocidade do avião em relação ao ar (
): na direção norte. - Velocidade do vento (
): na direção leste.
Como o vento está soprando de oeste para leste, ele vai afetar a trajetória do avião, empurrando-o para o leste enquanto ele tenta ir para o norte.
Passo 3
Para encontrar a velocidade do avião em relação à Terra (
), precisamos somar vetorialmente a velocidade do avião em relação ao ar e a velocidade do vento:
Isso é basicamente aplicar a Lei dos Paralelogramos para vetores.
Passo 4
Vamos decompor os vetores nas suas componentes:
-
Velocidade do avião em relação ao ar:
- Norte (y):
- Leste (x):
- Norte (y):
-
Velocidade do vento:
- Norte (y):
- Leste (x):
- Norte (y):
Passo 5
Somando as componentes:
- Componente leste (x):
- Componente norte (y):
Passo 6
Agora, vamos calcular a magnitude da velocidade resultante usando o teorema de Pitágoras:
Passo 7
Para achar a direção da velocidade em relação à Terra, calculamos o ângulo
em relação ao norte usando a função tangente:
Isso significa que a trajetória está desviada
para o leste em relação ao norte.
Passo 8
Agora, para a parte (b), queremos que o avião siga exatamente de sul para norte em relação à Terra, ou seja, queremos que a velocidade resultante em relação à Terra seja apenas na direção norte, sem componente leste.
Isso significa que o piloto precisa inclinar o avião um pouco para o oeste para contrabalançar o vento leste.
Passo 9
Chamemos o ângulo que o piloto deve inclinar o avião de
. Nesse caso, a componente leste do avião em relação ao ar deve ser igual e oposta à do vento para que se cancelem:
A magnitude total da velocidade do avião em relação ao ar é
, então:
Passo 10
Agora, calculamos o ângulo
:
Então, o piloto deve inclinar o avião aproximadamente
para o oeste.
Resposta
(a) A velocidade do avião em relação à Terra é de
na direção
a leste do norte.
(b) O piloto deve inclinar o avião aproximadamente
para o oeste para que ele siga exatamente de sul para norte. Com esse ajuste, a velocidade do avião em relação à Terra será de
na direção norte.
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e
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e
, onde
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e
.
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