Uma espeleóloga está pesquisando uma caverna. Ela percorre 180 m em linha reta de leste para oeste, depois caminha 210 m em uma direção formando
com a direção anterior e sentido do sul para o leste; a seguir, percorre 90 m a
no sentido do norte para o oeste. Depois de um quarto deslocamento não medido, ela retorna ao ponto de partida. (a) Use um diagrama em escala para determinar o módulo, a direção e o sentido do quarto deslocamento. (b) Use o método de componentes para determinar o módulo, a direção e o sentido do quarto deslocamento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A situação é que uma espeleóloga faz vários deslocamentos dentro de uma caverna e depois precisa dar um quarto passo para voltar ao ponto de partida. Vamos usar conceitos de vetores e trigonometria para achar o módulo, direção e sentido desse quarto deslocamento. Precisaremos desenhar um diagrama em escala e também aplicar o método de componentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os deslocamentos que ela fez:
- Primeiro deslocamento: 180 m de leste para oeste.
- Segundo deslocamento: 210 m formando
em relação ao anterior e indo do sul para o leste. - Terceiro deslocamento: 90 m formando
no sentido do norte para o oeste. - Quarto deslocamento: Desconhecido, que a leva de volta ao ponto inicial.
Passo 3
Vamos começar com a parte (a), que pede para usar um diagrama em escala.
Desenho do Diagrama em Escala:
- Primeiro deslocamento: Desenha uma linha horizontal para a esquerda com comprimento proporcional a 180 m.
- Segundo deslocamento: A partir do final do primeiro, desenha uma linha que forma
com a linha anterior, indo para baixo e para a direita, representando 210 m. - Terceiro deslocamento: A partir do final do segundo, desenha uma linha que forma
com a linha anterior, indo para cima e para a esquerda, representando 90 m. - Quarto deslocamento: Conecta o final do terceiro deslocamento de volta ao ponto de partida.
Determinação do Quarto Deslocamento:
- No diagrama, o quarto deslocamento será a linha que fecha o polígono, voltando ao início.
- Meça o comprimento dessa linha para encontrar o módulo.
- Use um transferidor para medir o ângulo e determinar a direção e sentido.
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b), usando o método de componentes.
Método de Componentes:
- Separar cada deslocamento em componentes horizontais (x) e verticais (y).
- Somar todas as componentes x e todas as componentes y separadamente.
- O quarto deslocamento terá componentes que são o negativo das somas anteriores, para voltar ao ponto inicial.
- Calcular o módulo, direção e sentido a partir dessas componentes.
Passo 5
Primeiro Deslocamento: 180 m de leste para oeste.
- Como vamos considerar a direção leste como positiva no eixo x, oeste será negativa.
- Componentes:
-
m -
m
-
Passo 6
Segundo Deslocamento: 210 m a
do sul para o leste.
-
Isso significa que o ângulo
está medido a partir do sul em direção ao leste. -
Portanto:
- Componente x:
- Componente y:
(negativo porque está indo para o sul)
- Componente x:
-
Calculando:
-
m -
m
-
Passo 7
Terceiro Deslocamento: 90 m a
no sentido do norte para o oeste.
-
O ângulo
está medido a partir do norte em direção ao oeste. -
Portanto:
- Componente x:
(negativo porque está indo para o oeste) - Componente y:
(positivo porque está indo para o norte)
- Componente x:
-
Calculando:
-
m -
m
-
Passo 8
Somando as Componentes:
-
Componente x total:
-
Componente y total:
Passo 9
Determinar o Quarto Deslocamento:
Para voltar ao ponto inicial, o quarto deslocamento deve ser igual e oposto às somas das componentes:
Passo 10
Calcular o Módulo do Quarto Deslocamento:
Usamos o teorema de Pitágoras:
Passo 11
Determinar a Direção e Sentido:
Para achar o ângulo
em relação ao leste:
Resposta
(a) Diagrama em escala: O quarto deslocamento tem módulo aproximado de 150.5 m, indo na direção de
ao norte do leste para voltar ao ponto de partida.
(b) Método de componentes: O quarto deslocamento possui um módulo de aproximadamente 150.5 m, com direção de
ao norte do leste e sentido correspondente para retornar ao ponto inicial.
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e
seja
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e
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é o ângulo entre os vetores
e
.