Uma espeleóloga está pesquisando uma caverna. Ela percorre 180 m em linha reta de leste para oeste, depois caminha 210 m em uma direção formando com a direção anterior e sentido do sul para o leste; a seguir, percorre 90 m a no sentido do norte para o oeste. Depois de um quarto deslocamento não medido, ela retorna ao ponto de partida. (a) Use um diagrama em escala para determinar o módulo, a direção e o sentido do quarto deslocamento. (b) Use o método de componentes para determinar o módulo, a direção e o sentido do quarto deslocamento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A situação é que uma espeleóloga faz vários deslocamentos dentro de uma caverna e depois precisa dar um quarto passo para voltar ao ponto de partida. Vamos usar conceitos de vetores e trigonometria para achar o módulo, direção e sentido desse quarto deslocamento. Precisaremos desenhar um diagrama em escala e também aplicar o método de componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os deslocamentos que ela fez:
  1. Primeiro deslocamento: 180 m de leste para oeste.
  2. Segundo deslocamento: 210 m formando em relação ao anterior e indo do sul para o leste.
  3. Terceiro deslocamento: 90 m formando no sentido do norte para o oeste.
  4. Quarto deslocamento: Desconhecido, que a leva de volta ao ponto inicial.

Passo 3

Vamos começar com a parte (a), que pede para usar um diagrama em escala.
Desenho do Diagrama em Escala:
  1. Primeiro deslocamento: Desenha uma linha horizontal para a esquerda com comprimento proporcional a 180 m.
  2. Segundo deslocamento: A partir do final do primeiro, desenha uma linha que forma com a linha anterior, indo para baixo e para a direita, representando 210 m.
  3. Terceiro deslocamento: A partir do final do segundo, desenha uma linha que forma com a linha anterior, indo para cima e para a esquerda, representando 90 m.
  4. Quarto deslocamento: Conecta o final do terceiro deslocamento de volta ao ponto de partida.
Determinação do Quarto Deslocamento:
  • No diagrama, o quarto deslocamento será a linha que fecha o polígono, voltando ao início.
  • Meça o comprimento dessa linha para encontrar o módulo.
  • Use um transferidor para medir o ângulo e determinar a direção e sentido.

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b), usando o método de componentes.
Método de Componentes:
  1. Separar cada deslocamento em componentes horizontais (x) e verticais (y).
  2. Somar todas as componentes x e todas as componentes y separadamente.
  3. O quarto deslocamento terá componentes que são o negativo das somas anteriores, para voltar ao ponto inicial.
  4. Calcular o módulo, direção e sentido a partir dessas componentes.

Passo 5

Primeiro Deslocamento: 180 m de leste para oeste.
  • Como vamos considerar a direção leste como positiva no eixo x, oeste será negativa.
  • Componentes:
    • m
    • m

Passo 6

Segundo Deslocamento: 210 m a do sul para o leste.
  • Isso significa que o ângulo está medido a partir do sul em direção ao leste.
  • Portanto:
    • Componente x:
    • Componente y: (negativo porque está indo para o sul)
  • Calculando:
    • m
    • m

Passo 7

Terceiro Deslocamento: 90 m a no sentido do norte para o oeste.
  • O ângulo está medido a partir do norte em direção ao oeste.
  • Portanto:
    • Componente x: (negativo porque está indo para o oeste)
    • Componente y: (positivo porque está indo para o norte)
  • Calculando:
    • m
    • m

Passo 8

Somando as Componentes:
  • Componente x total:
  • Componente y total:

Passo 9

Determinar o Quarto Deslocamento:
Para voltar ao ponto inicial, o quarto deslocamento deve ser igual e oposto às somas das componentes:

Passo 10

Calcular o Módulo do Quarto Deslocamento:
Usamos o teorema de Pitágoras:
ó

Passo 11

Determinar a Direção e Sentido:
Para achar o ângulo em relação ao leste:

Resposta

(a) Diagrama em escala: O quarto deslocamento tem módulo aproximado de 150.5 m, indo na direção de ao norte do leste para voltar ao ponto de partida.
(b) Método de componentes: O quarto deslocamento possui um módulo de aproximadamente 150.5 m, com direção de ao norte do leste e sentido correspondente para retornar ao ponto inicial.

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