Uma espeleóloga está pesquisando uma caverna. Ela percorre 180 m em linha reta de leste para oeste, depois caminha 210 m em uma direção formando 45^circ com a direção anterior e sentido do sul para o leste; a seguir, percorre 90 m a 30^circ no sentido do norte para o oeste. Depois de um quarto deslocamento não medido, ela retorna ao ponto de partida. (a) Use um diagrama em escala para determinar o módulo, a direção e o sentido do quarto deslocamento. (b) Use o método de componentes para determinar o módulo, a direção e o sentido do quarto deslocamento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A situação é que uma espeleóloga faz vários deslocamentos dentro de uma caverna e depois precisa dar um quarto passo para voltar ao ponto de partida. Vamos usar conceitos de vetores e trigonometria para achar o módulo, direção e sentido desse quarto deslocamento. Precisaremos desenhar um diagrama em escala e também aplicar o método de componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os deslocamentos que ela fez:
  1. Primeiro deslocamento: 180 m de leste para oeste.
  2. Segundo deslocamento: 210 m formando 45^circ em relação ao anterior e indo do sul para o leste.
  3. Terceiro deslocamento: 90 m formando 30^circ no sentido do norte para o oeste.
  4. Quarto deslocamento: Desconhecido, que a leva de volta ao ponto inicial.

Passo 3

Vamos começar com a parte (a), que pede para usar um diagrama em escala.
Desenho do Diagrama em Escala:
  1. Primeiro deslocamento: Desenha uma linha horizontal para a esquerda com comprimento proporcional a 180 m.
  2. Segundo deslocamento: A partir do final do primeiro, desenha uma linha que forma 45^circ com a linha anterior, indo para baixo e para a direita, representando 210 m.
  3. Terceiro deslocamento: A partir do final do segundo, desenha uma linha que forma 30^circ com a linha anterior, indo para cima e para a esquerda, representando 90 m.
  4. Quarto deslocamento: Conecta o final do terceiro deslocamento de volta ao ponto de partida.
Determinação do Quarto Deslocamento:
  • No diagrama, o quarto deslocamento será a linha que fecha o polígono, voltando ao início.
  • Meça o comprimento dessa linha para encontrar o módulo.
  • Use um transferidor para medir o ângulo e determinar a direção e sentido.

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b), usando o método de componentes.
Método de Componentes:
  1. Separar cada deslocamento em componentes horizontais (x) e verticais (y).
  2. Somar todas as componentes x e todas as componentes y separadamente.
  3. O quarto deslocamento terá componentes que são o negativo das somas anteriores, para voltar ao ponto inicial.
  4. Calcular o módulo, direção e sentido a partir dessas componentes.

Passo 5

Primeiro Deslocamento: 180 m de leste para oeste.
  • Como vamos considerar a direção leste como positiva no eixo x, oeste será negativa.
  • Componentes:
    • x1 = -180 m
    • y1 = 0 m

Passo 6

Segundo Deslocamento: 210 m a 45^circ do sul para o leste.
  • Isso significa que o ângulo 45^circ está medido a partir do sul em direção ao leste.
  • Portanto:
    • Componente x: x2 = 210 cos(45^circ)
    • Componente y: y2 = -210 sin(45^circ) (negativo porque está indo para o sul)
  • Calculando:
    • x2 = 210 times raiz22 approx 148.5 m
    • y2 = -210 times raiz22 approx -148.5 m

Passo 7

Terceiro Deslocamento: 90 m a 30^circ no sentido do norte para o oeste.
  • O ângulo 30^circ está medido a partir do norte em direção ao oeste.
  • Portanto:
    • Componente x: x3 = -90 cos(30^circ) (negativo porque está indo para o oeste)
    • Componente y: y3 = 90 sin(30^circ) (positivo porque está indo para o norte)
  • Calculando:
    • x3 = -90 times raiz32 approx -77.94 m
    • y3 = 90 times 12 = 45 m

Passo 8

Somando as Componentes:
  • Componente x total:
    xtotal = x1 + x2 + x3 = -180 + 148.5 - 77.94 approx -109.44 m
  • Componente y total:
    ytotal = y1 + y2 + y3 = 0 - 148.5 + 45 = -103.5 m

Passo 9

Determinar o Quarto Deslocamento:
Para voltar ao ponto inicial, o quarto deslocamento deve ser igual e oposto às somas das componentes:
x4 = -xtotal approx 109.44 m
y4 = -ytotal approx 103.5 m

Passo 10

Calcular o Módulo do Quarto Deslocamento:
Usamos o teorema de Pitágoras:
Módulo = raizx4^2 + y4^2 = raiz(109.44)^2 + (103.5)^2 approx raiz11936 + 10716 approx raiz22652 approx 150.5 m ó

Passo 11

Determinar a Direção e Sentido:
Para achar o ângulo theta em relação ao leste:
tan(theta) = y4x4 = 103.5109.44 approx 0.946
theta = arctan(0.946) approx 43.4^circ ao norte do <=ste

Resposta

(a) Diagrama em escala: O quarto deslocamento tem módulo aproximado de 150.5 m, indo na direção de 43.4^circ ao norte do leste para voltar ao ponto de partida.
(b) Método de componentes: O quarto deslocamento possui um módulo de aproximadamente 150.5 m, com direção de 43.4^circ ao norte do leste e sentido correspondente para retornar ao ponto inicial.

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