Dado dois vetores e seja o vetor soma e , o vetor diferença. Usando operações vetoriais mostre que: e , onde é o ângulo entre os vetores e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, dada a soma e a diferença de dois vetores e , as magnitudes desses vetores resultantes podem ser expressas pelas fórmulas:
Aqui, é o ângulo entre os vetores e . Para resolver isso, vamos precisar usar operações vetoriais como adição, subtração e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a magnitude de um vetor soma pode ser encontrada calculando o produto escalar dele consigo mesmo:
Isso nos ajuda a evitar trabalhar diretamente com raízes quadradas no início.

Passo 3

Agora, vamos expandir :
Usando a propriedade distributiva do produto escalar, temos:
Sabemos que e , então:

Passo 4

Lembrando que o produto escalar entre dois vetores também pode ser expresso como:
Substituindo isso na equação:

Passo 5

Para encontrar , basta tirar a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para o vetor diferença .
Calculamos a magnitude ao quadrado:
Expandindo:

Passo 7

Assim, temos:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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