Dado dois vetores A e B seja S=A+B o vetor soma e D =A-B, o vetor diferença. Usando operações vetoriais mostre que: S=raizA^2+B^2+2 A B cos theta e D= raizA^2+B^2-2 A B cos theta, onde theta é o ângulo entre os vetores A e B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, dada a soma e a diferença de dois vetores A e B, as magnitudes desses vetores resultantes podem ser expressas pelas fórmulas:
|S| = raizA^2 + B^2 + 2AB cos theta
|D| = raizA^2 + B^2 - 2AB cos theta
Aqui, theta é o ângulo entre os vetores A e B. Para resolver isso, vamos precisar usar operações vetoriais como adição, subtração e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a magnitude de um vetor soma S = A + B pode ser encontrada calculando o produto escalar dele consigo mesmo:
|S|^2 = S cdot S
Isso nos ajuda a evitar trabalhar diretamente com raízes quadradas no início.

Passo 3

Agora, vamos expandir S cdot S:
S cdot S = (A + B) cdot (A + B)
Usando a propriedade distributiva do produto escalar, temos:
A cdot A + 2A cdot B + B cdot B
Sabemos que A cdot A = A^2 e B cdot B = B^2, então:
|S|^2 = A^2 + B^2 + 2A cdot B

Passo 4

Lembrando que o produto escalar entre dois vetores também pode ser expresso como:
A cdot B = AB cos theta
Substituindo isso na equação:
|S|^2 = A^2 + B^2 + 2AB cos theta

Passo 5

Para encontrar |S|, basta tirar a raiz quadrada de ambos os lados:
|S| = raizA^2 + B^2 + 2AB cos theta

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para o vetor diferença D = A - B.
Calculamos a magnitude ao quadrado:
|D|^2 = D cdot D = (A - B) cdot (A - B)
Expandindo:
A cdot A - 2A cdot B + B cdot B = A^2 + B^2 - 2AB cos theta

Passo 7

Assim, temos:
|D|^2 = A^2 + B^2 - 2AB cos theta
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
|D| = raizA^2 + B^2 - 2AB cos theta

Resposta

Portanto, mostramos que:
|S| = raizA^2 + B^2 + 2AB cos theta
|D| = raizA^2 + B^2 - 2AB cos theta

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