Dado dois vetores
e
seja
o vetor soma e
, o vetor diferença. Usando operações vetoriais mostre que:
e
, onde
é o ângulo entre os vetores
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, dada a soma e a diferença de dois vetores
e
, as magnitudes desses vetores resultantes podem ser expressas pelas fórmulas:
Aqui,
é o ângulo entre os vetores
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar operações vetoriais como adição, subtração e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a magnitude de um vetor soma
pode ser encontrada calculando o produto escalar dele consigo mesmo:
Isso nos ajuda a evitar trabalhar diretamente com raízes quadradas no início.
Passo 3
Agora, vamos expandir
:
Usando a propriedade distributiva do produto escalar, temos:
Sabemos que
e
, então:
Passo 4
Lembrando que o produto escalar entre dois vetores também pode ser expresso como:
Substituindo isso na equação:
Passo 5
Para encontrar
, basta tirar a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo para o vetor diferença
.
Calculamos a magnitude ao quadrado:
Expandindo:
Passo 7
Assim, temos:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
Portanto, mostramos que: