© Ache as coordenadas de um vetor arbitrário v=(a, b) em R^2 em relação a base S2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as coordenadas de um vetor arbitrário no espaço em relação a uma base . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com mudanças de base e coordenadas de vetores em diferentes bases. Para resolver isso, vamos precisar saber quais são os vetores que formam a base e usar essas informações para expressar como uma combinação linear desses vetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é uma base em . Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que conseguem gerar todo o espaço através de combinações lineares. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma soma ponderada dos vetores da base.

Passo 3

Vamos supor que a base v = c1 u1 + c2 u2 é composta por dois vetores (a, b) = c1 (u1x, u1y) + c2 (u2x, u2y) e . Então, queremos encontrar escalares e tais que:
Isso significa que:

Passo 4

Para encontrar a = c1 u1x + c2 u2x b = c1 u1y + c2 u2y e , montamos um sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores das coordenadas de em relação à base .

Passo 5

Vamos chamar as coordenadas de em relação a de . Então, a solução do sistema nos dá exatamente essas coordenadas.

Passo 6

Portanto, as coordenadas de em relação à base são , onde e são os coeficientes encontrados ao resolver o sistema de equações acima.

Resposta

As coordenadas do vetor a = c1 u1x + c2 u2x b = c1 u1y + c2 u2y em relação à base são , obtidas resolvendo o sistema de equações:

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