© Ache as coordenadas de um vetor arbitrário
em
em relação a base
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as coordenadas de um vetor arbitrário
no espaço
em relação a uma base
. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com mudanças de base e coordenadas de vetores em diferentes bases. Para resolver isso, vamos precisar saber quais são os vetores que formam a base
e usar essas informações para expressar
como uma combinação linear desses vetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é uma base em
. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que conseguem gerar todo o espaço
através de combinações lineares. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma soma ponderada dos vetores da base.
Passo 3
Vamos supor que a base
é composta por dois vetores
e
. Então, queremos encontrar escalares
e
tais que:
Isso significa que:
Passo 4
Para encontrar
e
, montamos um sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores das coordenadas de
em relação à base
.
Passo 5
Vamos chamar as coordenadas de
em relação a
de
. Então, a solução do sistema nos dá exatamente essas coordenadas.
Passo 6
Portanto, as coordenadas de
em relação à base
são
, onde
e
são os coeficientes encontrados ao resolver o sistema de equações acima.
Resposta
As coordenadas do vetor
em relação à base
são
, obtidas resolvendo o sistema de equações:
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Determine as coordenadas do vetor
em relação à base
9
Determine as coordenadas do vetor em relação à base
9
Determine as coordenadas do vetor
Consider os s requinte subespaço das matrizes
.
Calcule:
e
Mostre que se
é uma base de
, então
também é uma base de
.
Sejam
, e considere a matriz
tal que
, para todo
.
(b) Se os vetores em questão forem ortonormais, o que podemos concluir sobre a matriz
? Justifique sua resposta.
(b) Se os vetores