Consider os s requinte subespaço das matrizes .
Calcule: e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado pede para a gente trabalhar com subespaços de matrizes . Para isso, vamos precisar entender conceitos como interseção de subespaços, soma de subespaços e dimensão desses espaços. Vamos dar uma olhada nas duas subespaços que temos:

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a interseção . Isso significa encontrar todas as matrizes que estão simultaneamente em e .
Uma matriz pertence à interseção se ela pode ser escrita tanto na forma de quanto na forma de . Então, temos:
Para que essas matrizes sejam iguais, os elementos correspondentes devem ser iguais. Assim, igualamos cada posição:
  1. (já está ok)
  2. (sem restrição)
Portanto, as matrizes na interseção têm a forma:

Passo 3

Agora, vamos calcular a dimensão da interseção . A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em sua base.
Aqui, a interseção é formada por matrizes que dependem apenas de , já que e . Podemos representar qualquer matriz na interseção como:
Isso mostra que a interseção é gerada por um único vetor, então a dimensão é 1.

Passo 4

Vamos agora encontrar a soma dos subespaços . A soma de dois subespaços é o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas como a soma de uma matriz de e uma matriz de .
Tomando uma matriz qualquer de :
e uma matriz de :
A soma delas é:
Então, a soma consiste em todas as matrizes da forma:

Passo 5

Por fim, vamos determinar a dimensão da soma . Observando a forma das matrizes na soma:
vemos que elas são determinadas por três parâmetros independentes: , e . Isso significa que podemos escolher livremente valores para esses três elementos, formando uma base com três vetores:
Portanto, a dimensão de é 3.

Resposta

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