Consider os s requinte subespaço das matrizes
.
Calcule:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado pede para a gente trabalhar com subespaços de matrizes
. Para isso, vamos precisar entender conceitos como interseção de subespaços, soma de subespaços e dimensão desses espaços. Vamos dar uma olhada nas duas subespaços que temos:
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a interseção
. Isso significa encontrar todas as matrizes que estão simultaneamente em
e
.
Uma matriz pertence à interseção se ela pode ser escrita tanto na forma de
quanto na forma de
. Então, temos:
Para que essas matrizes sejam iguais, os elementos correspondentes devem ser iguais. Assim, igualamos cada posição:
-
(já está ok) -
-
(sem restrição) -
Portanto, as matrizes na interseção têm a forma:
Passo 3
Agora, vamos calcular a dimensão da interseção
. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em sua base.
Aqui, a interseção é formada por matrizes que dependem apenas de
, já que
e
. Podemos representar qualquer matriz na interseção como:
Isso mostra que a interseção é gerada por um único vetor, então a dimensão é 1.
Passo 4
Vamos agora encontrar a soma dos subespaços
. A soma de dois subespaços é o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas como a soma de uma matriz de
e uma matriz de
.
Tomando uma matriz qualquer de
:
e uma matriz de
:
A soma delas é:
Então, a soma
consiste em todas as matrizes da forma:
Passo 5
Por fim, vamos determinar a dimensão da soma
. Observando a forma das matrizes na soma:
vemos que elas são determinadas por três parâmetros independentes:
,
e
. Isso significa que podemos escolher livremente valores para esses três elementos, formando uma base com três vetores:
Portanto, a dimensão de
é 3.
Resposta
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Sejam
e
os seguintes subespaços vetoriais de
8a
Sejam e
os seguintes subespaços vetoriais de
8a
Sejam
Consider o subespaço das matrizes simétricas
Encontre uma base de
.
Determine as coordenadas do vetor
em relação à base
9
Determine as coordenadas do vetor em relação à base
9
Determine as coordenadas do vetor
© Ache as coordenadas de um vetor arbitrário
em
em relação a base
.