Consider os s requinte subespaço das matrizes 2 times 2.
W1=[ll 0 & 0 c & d ]: c, d in R subset M2 times 2(R), W2=[ll 0 & b c & 0 ]: c, d in R subset M2 times 2(R)
Calcule: W1 cap W2, din(W1 cap W2), W1+W2 e din(W1+W2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado pede para a gente trabalhar com subespaços de matrizes W1= 0 & 0 c & d : c, d in R, W2= 0 & b c & 0 : b, c in R . Para isso, vamos precisar entender conceitos como interseção de subespaços, soma de subespaços e dimensão desses espaços. Vamos dar uma olhada nas duas subespaços que temos:

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a interseção 0 & 0 c & d = 0 & b c & 0 . Isso significa encontrar todas as matrizes que estão simultaneamente em 0 & 0 c & 0 , c in R e .
Uma matriz pertence à interseção se ela pode ser escrita tanto na forma de quanto na forma de . Então, temos:
Para que essas matrizes sejam iguais, os elementos correspondentes devem ser iguais. Assim, igualamos cada posição:
  1. (já está ok)
  2. (sem restrição)
Portanto, as matrizes na interseção têm a forma:

Passo 3

Agora, vamos calcular a dimensão da interseção c cdot 0 & 0 1 & 0 , c in R . A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em sua base.
Aqui, a interseção é formada por matrizes que dependem apenas de , já que e . Podemos representar qualquer matriz na interseção como:
Isso mostra que a interseção é gerada por um único vetor, então a dimensão é 1.

Passo 4

Vamos agora encontrar a soma dos subespaços 0 & 0 c1 & d1 . A soma de dois subespaços é o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas como a soma de uma matriz de 0 & b2 c2 & 0 e uma matriz de 0 & 0 c1 & d1 + 0 & b2 c2 & 0 = 0 & b2 c1 + c2 & d1 .
Tomando uma matriz qualquer de 0 & b c & d , b, c, d in R :
e uma matriz de :
A soma delas é:
Então, a soma consiste em todas as matrizes da forma:

Passo 5

Por fim, vamos determinar a dimensão da soma 0 & b c & d . Observando a forma das matrizes na soma:
0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1
vemos que elas são determinadas por três parâmetros independentes: , e . Isso significa que podemos escolher livremente valores para esses três elementos, formando uma base com três vetores:
Portanto, a dimensão de é 3.

Resposta

W1 cap W2 = 0 & 0 c & 0 : c in R, dim(W1 cap W2) = 1
W1 + W2 = 0 & b c & d : b, c, d in R, dim(W1 + W2) = 3

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