Mostre que se
é uma base de
, então
também é uma base de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que se
é uma base de um espaço vetorial
, então o conjunto
também é uma base de
. Estamos lidando com álgebra linear, mais especificamente com o conceito de base de um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos chave: linearmente independente e espalhamento (ou span).
Passo 2
Primeiro, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que é linearmente independente e que espalha todo o espaço. Linearmente independente significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Espalhar todo o espaço significa que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
Passo 3
Nos foi dado que
é uma base de
. Portanto, sabemos que:
- Os vetores
, e são linearmente independentes. - Eles espalham
.
Passo 4
Agora, precisamos mostrar que
também é uma base de
. Para isso, devemos verificar duas coisas:
- Linearmente independente: Mostrar que os vetores
, e são linearmente independentes. - Espalhamento: Mostrar que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
Passo 5
Vamos começar verificando a linearmente independente. Suponha que exista alguma combinação linear que dê o vetor zero:
Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 6
Como
é uma base, eles são linearmente independentes. Isso significa que os coeficientes das combinações lineares devem ser zero:
Da equação
e
, substituindo na primeira equação:
Portanto, a única solução é
, o que prova que
é linearmente independente.
Passo 7
Agora, vamos verificar o espalhamento. Queremos mostrar que qualquer vetor
pode ser escrito como:
Vamos distribuir os coeficientes:
Agrupando os termos:
Passo 8
Como
é uma base, qualquer vetor
pode ser escrito como:
Comparando com a expressão anterior:
Podemos resolver para
,
e
:
Isso mostra que temos uma solução para
,
e
, o que significa que
espalha
.
Resposta
Portanto, demonstramos que
é linearmente independente e espalha todo o espaço vetorial
, ou seja,
é uma base de
.
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em
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.
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9
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9
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Sejam
, e considere a matriz
tal que
, para todo
.
(b) Se os vetores em questão forem ortonormais, o que podemos concluir sobre a matriz
? Justifique sua resposta.
(b) Se os vetores
Calcule a dimensão do seguinte subespaço de
: