Mostre que se u, v, w é uma base de V, então u, u+v, u+w também é uma base de V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que se u, v, w é uma base de um espaço vetorial V, então o conjunto u, u+v, u+w também é uma base de V. Estamos lidando com álgebra linear, mais especificamente com o conceito de base de um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos chave: linearmente independente e espalhamento (ou span).

Passo 2

Primeiro, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que é linearmente independente e que espalha todo o espaço. Linearmente independente significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Espalhar todo o espaço significa que qualquer vetor em V pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.

Passo 3

Nos foi dado que u, v, w é uma base de V. Portanto, sabemos que:
  1. Os vetores u, v e w são linearmente independentes.
  2. Eles espalham V.

Passo 4

Agora, precisamos mostrar que u, u+v, u+w também é uma base de V. Para isso, devemos verificar duas coisas:
  1. Linearmente independente: Mostrar que os vetores u, u+v e u+w são linearmente independentes.
  2. Espalhamento: Mostrar que qualquer vetor em V pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.

Passo 5

Vamos começar verificando a linearmente independente. Suponha que exista alguma combinação linear que dê o vetor zero:
a cdot u + b cdot (u + v) + c cdot (u + w) = 0
Vamos distribuir os coeficientes:
a cdot u + b cdot u + b cdot v + c cdot u + c cdot w = 0
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
(a + b + c) cdot u + b cdot v + c cdot w = 0

Passo 6

Como u, v, w é uma base, eles são linearmente independentes. Isso significa que os coeficientes das combinações lineares devem ser zero:
a + b + c = 0 b = 0 c = 0
Da equação b = 0 e c = 0, substituindo na primeira equação:
a + 0 + 0 = 0 Rightarrow a = 0
Portanto, a única solução é a = b = c = 0, o que prova que u, u+v, u+w é linearmente independente.

Passo 7

Agora, vamos verificar o espalhamento. Queremos mostrar que qualquer vetor x in V pode ser escrito como:
x = alpha cdot u + beta cdot (u + v) + gamma cdot (u + w)
Vamos distribuir os coeficientes:
x = alpha cdot u + beta cdot u + beta cdot v + gamma cdot u + gamma cdot w
Agrupando os termos:
x = (alpha + beta + gamma) cdot u + beta cdot v + gamma cdot w

Passo 8

Como u, v, w é uma base, qualquer vetor x in V pode ser escrito como:
x = a cdot u + b cdot v + c cdot w
Comparando com a expressão anterior:
(alpha + beta + gamma) = a beta = b gamma = c
Podemos resolver para alpha, beta e gamma:
beta = b gamma = c alpha = a - b - c
Isso mostra que temos uma solução para alpha, beta e gamma, o que significa que u, u+v, u+w espalha V.

Resposta

Portanto, demonstramos que u, u+v, u+w é linearmente independente e espalha todo o espaço vetorial V, ou seja, u, u+v, u+w é uma base de V.

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