Mostre que se é uma base de , então também é uma base de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que se é uma base de um espaço vetorial , então o conjunto também é uma base de . Estamos lidando com álgebra linear, mais especificamente com o conceito de base de um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos chave: linearmente independente e espalhamento (ou span).

Passo 2

Primeiro, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que é linearmente independente e que espalha todo o espaço. Linearmente independente significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Espalhar todo o espaço significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.

Passo 3

Nos foi dado que é uma base de . Portanto, sabemos que:
  1. Os vetores , e são linearmente independentes.
  2. Eles espalham .

Passo 4

Agora, precisamos mostrar que também é uma base de . Para isso, devemos verificar duas coisas:
  1. Linearmente independente: Mostrar que os vetores , e são linearmente independentes.
  2. Espalhamento: Mostrar que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.

Passo 5

Vamos começar verificando a linearmente independente. Suponha que exista alguma combinação linear que dê o vetor zero:
Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:

Passo 6

Como é uma base, eles são linearmente independentes. Isso significa que os coeficientes das combinações lineares devem ser zero:
Da equação e , substituindo na primeira equação:
Portanto, a única solução é , o que prova que é linearmente independente.

Passo 7

Agora, vamos verificar o espalhamento. Queremos mostrar que qualquer vetor pode ser escrito como:
Vamos distribuir os coeficientes:
Agrupando os termos:

Passo 8

Como é uma base, qualquer vetor pode ser escrito como:
Comparando com a expressão anterior:
Podemos resolver para , e :
Isso mostra que temos uma solução para , e , o que significa que espalha .

Resposta

Portanto, demonstramos que é linearmente independente e espalha todo o espaço vetorial , ou seja, é uma base de .

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9
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