Determine as coordenadas do vetor v=(1,0,0) em relação à base
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Determine as coordenadas do vetor v=(1,0,0) em relação à base gamma=(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Queremos encontrar as coordenadas do vetor v = (1, 0, 0) em relação a uma base específica chamada gamma, que é composta pelos vetores (1,1,1), (-1,1,0) e (1,0,-1). Isso faz parte do conteúdo de mudança de base na álgebra linear, onde precisamos expressar um vetor em termos de uma nova base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar as coordenadas de v em relação à base gamma, precisamos achar escalares a, b e c tais que:
v = a cdot (1,1,1) + b cdot (-1,1,0) + c cdot (1,0,-1)
Ou seja:
(1, 0, 0) = a(1,1,1) + b(-1,1,0) + c(1,0,-1)

Passo 3

Agora, vamos expandir essa equação componente por componente. Isso nos dá um sistema de três equações:
a - b + c = 1 (componente x) a + b + 0c = 0 (componente y) a + 0b - c = 0 (componente z)

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
a + b = 0 Rightarrow a = -b
Da terceira equação:
a - c = 0 Rightarrow a = c
Então, sabemos que a = c e a = -b, o que implica que c = -b.
Agora, substituímos a = -b e c = -b na primeira equação:
(-b) - b + (-b) = 1 -3b = 1 b = -13
Então,
a = -b = 13 c = -b = 13

Resposta

As coordenadas do vetor v = (1, 0, 0) em relação à base gamma são (13, -13, 13).

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