© Calcule o comprimento do pedaço do gráfico de
entre
e
. (resposta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento do pedaço do gráfico da equação
entre os pontos
e
. Vamos usar o conceito de comprimento de arco na matéria de Cálculo, especificamente a fórmula para comprimento de curvas definidas. Para isso, vamos precisar derivar uma das variáveis em relação à outra e aplicar a fórmula de integração adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação
para expressar
em função de
. Dividindo ambos os lados por 9, temos:
Agora, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Então,
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Vamos derivar
:
Então,
.
Passo 4
A fórmula para o comprimento de arco de uma curva definida por
entre
e
é:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, vamos calcular essa integral:
Para resolver, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
. A integral vira:
Passo 6
Aplicando os limites de integração de
a
:
Calculando os valores:
Então:
Resposta
O comprimento do pedaço do gráfico é
.
Exercícios relacionados
© Seja
a região abaixo de
e acima de
. Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
ao redor do eixo
resposta
)
(a) Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação ao redor do eixo
da região delimitada por
e
. (resposta
)
(a) Calcule a área delimitada pela curva
,
e
. (resposta
)
(d) Calcule o volume do sólido gerado quando a região limitada por
, e pela reta
é girada ao redor do eixo
. (resposta
)