© Calcule o comprimento do pedaço do gráfico de 9 x^2 = 4 y^3 entre (0,0) e 2 / 3,1. (resposta (2/3)*(2*raiz(2)-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento do pedaço do gráfico da equação entre os pontos e . Vamos usar o conceito de comprimento de arco na matéria de Cálculo, especificamente a fórmula para comprimento de curvas definidas. Para isso, vamos precisar derivar uma das variáveis em relação à outra e aplicar a fórmula de integração adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para expressar em função de . Dividindo ambos os lados por 9, temos:
Agora, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Vamos derivar :
Então, .

Passo 4

A fórmula para o comprimento de arco de uma curva definida por entre e é:
Substituindo :

Passo 5

Agora, vamos calcular essa integral:
Para resolver, fazemos uma substituição simples. Seja , então . A integral vira:

Passo 6

Aplicando os limites de integração de a :
Calculando os valores:
Então:

Resposta

O comprimento do pedaço do gráfico é .

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