© Seja a região abaixo de e acima de . Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de ao redor do eixo resposta )

Passo 1

Então, galera, temos um exercício que pede para a gente calcular o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região específica ao redor do eixo . A região está abaixo da curva e acima de , no intervalo de de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o método dos discos. Quando giramos uma região ao redor do eixo , o volume gerado pode ser calculado integrando a área de discos infinitesimais perpendicularmente ao eixo de rotação. A fórmula para o volume é:
Aqui, é a função de cima e é a função de baixo no intervalo de a .

Passo 3

No nosso caso, e , e o intervalo é de a . Vamos substituir essas funções na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos simplificar as expressões dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integremos :
Agora, para , fazemos uma substituição , então ou :

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão do volume:
Vamos calcular nos limites de 0 a 1:
Para :
Para :

Passo 7

Subtraindo os valores nos limites:

Resposta

O volume do sólido de revolução é .

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