© Seja
a região abaixo de
e acima de
. Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
ao redor do eixo
resposta
)
Passo 1
Então, galera, temos um exercício que pede para a gente calcular o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região específica ao redor do eixo
. A região
está abaixo da curva
e acima de
, no intervalo de
de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o método dos discos. Quando giramos uma região ao redor do eixo
, o volume gerado pode ser calculado integrando a área de discos infinitesimais perpendicularmente ao eixo de rotação. A fórmula para o volume
é:
Aqui,
é a função de cima e
é a função de baixo no intervalo de
a
.
Passo 3
No nosso caso,
e
, e o intervalo é de
a
. Vamos substituir essas funções na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos simplificar as expressões dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integremos
:
Agora, para
, fazemos uma substituição
, então
ou
:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na expressão do volume:
Vamos calcular nos limites de 0 a 1:
Para
:
Para
:
Passo 7
Subtraindo os valores nos limites:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
.
Exercícios relacionados
(a) Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação ao redor do eixo
da região delimitada por
e
. (resposta
)
(a) Calcule o comprimento do gráfico de
no intervalo
. (resposta
)
© Calcule o comprimento do pedaço do gráfico de
entre
e
. (resposta
(a) Calcule a área delimitada pela curva
,
e
. (resposta
)