(a) Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação ao redor do eixo
da região delimitada por
e
. (resposta
)
Passo 1
Neste exercício, precisamos calcular o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas
,
,
e
ao redor do eixo
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região que será rotacionada. A curva
é uma parábola que abre para cima, e
corresponde ao eixo
. As linhas verticais
e
estabelecem os limites lateralmente. Ao rotacionar essa área ao redor do eixo
, formaremos um sólido com uma forma específica.
Passo 3
O método dos discos nos permite calcular o volume
do sólido de revolução usando a seguinte fórmula:
Aqui:
-
é a função que define a borda superior da região. -
e são os limites de integração (no nosso caso, e ).
Passo 4
Aplicando os valores do nosso exercício:
Substituindo na fórmula, temos:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 6
Agora, calculamos a integral:
Aplicando os limites de 1 a 3:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
.
Exercícios relacionados
(a) Calcule o comprimento do gráfico de
no intervalo
. (resposta
)
(b) Calcule o volume do sólido formado quando o gráfico de
, é girado ao redor do eixo
. (resposta
)
© Seja
a região abaixo de
e acima de
. Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de
ao redor do eixo
resposta
)
© Calcule o comprimento do pedaço do gráfico de
entre
e
. (resposta