(a) Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação ao redor do eixo da região delimitada por e . (resposta )

Passo 1

Neste exercício, precisamos calcular o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas , , e ao redor do eixo . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região que será rotacionada. A curva é uma parábola que abre para cima, e corresponde ao eixo . As linhas verticais e estabelecem os limites lateralmente. Ao rotacionar essa área ao redor do eixo , formaremos um sólido com uma forma específica.

Passo 3

O método dos discos nos permite calcular o volume do sólido de revolução usando a seguinte fórmula:
Aqui:
  • é a função que define a borda superior da região.
  • e são os limites de integração (no nosso caso, e ).

Passo 4

Aplicando os valores do nosso exercício:
Substituindo na fórmula, temos:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 6

Agora, calculamos a integral:
Aplicando os limites de 1 a 3:

Resposta

O volume do sólido de revolução é .

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