(d) Calcule o volume do sólido gerado quando a região limitada por y = x^3 + x^2, 0 <= y x <= 1, e pela reta x = 1 é girada ao redor do eixo y. (resposta 9/10 pi )

Passo 1

Vamos calcular o volume do sólido formado quando a região delimitada pela curva , no intervalo , e pela reta é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos cilindros (ou método das cascas cilíndricas), que é útil para encontrar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função que define a curva: . Como estamos girando em torno do eixo , o método das cascas cilíndricas nos diz que o volume pode ser calculado pela integral:
onde é a função que define a altura das cascas cilíndricas, e e são os limites de integração.

Passo 3

No nosso caso, e . A função representa a altura das cascas. Substituindo na fórmula, temos:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 4

Agora, calculamos a integral:
Avaliando de a :

Passo 5

Multiplicamos o resultado pela constante :

Resposta

O volume do sólido é .

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