(d) Calcule o volume do sólido gerado quando a região limitada por
, e pela reta
é girada ao redor do eixo
. (resposta
)
Passo 1
Vamos calcular o volume do sólido formado quando a região delimitada pela curva
, no intervalo
, e pela reta
é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos cilindros (ou método das cascas cilíndricas), que é útil para encontrar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, identificamos a função que define a curva:
. Como estamos girando em torno do eixo
, o método das cascas cilíndricas nos diz que o volume
pode ser calculado pela integral:
onde
é a função que define a altura das cascas cilíndricas, e
e
são os limites de integração.
Passo 3
No nosso caso,
e
. A função
representa a altura das cascas. Substituindo na fórmula, temos:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 4
Agora, calculamos a integral:
Avaliando de
a
:
Passo 5
Multiplicamos o resultado pela constante
:
Resposta
O volume do sólido é
.
Exercícios relacionados
(a) Calcule a área delimitada pela curva
,
e
. (resposta
)
© Calcule o comprimento do pedaço do gráfico de
entre
e
. (resposta
(a) Calcule a área da superfície gerada pela rotação de
, ao redor do eixo
. (resposta
)
(b) Calcule a área da região entre as curvas
e
para
. (resposta
)