c) Um cilindro oco de comprimento possui uma superficie interna com temperatura e raio , e uma superficie externa com temperatura e raio . ( O cilindro poderia representar, por exemplo, um tubo isolado que conduz água quente.) A condutividade térmica do material do cilindro . Deduza uma equação para a taxa total de transferência de calor através das paredes do cilindro.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro oco com comprimento , que tem uma superfície interna com temperatura e raio , e uma superfície externa com temperatura e raio . O material do cilindro tem uma condutividade térmica representada por . Nosso objetivo é deduzir uma equação que nos mostre a taxa total de transferência de calor através das paredes desse cilindro.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da Lei de Fourier para condução de calor, que nos diz como o calor se propaga através de um material. Em coordenadas cilíndricas, a taxa de transferência de calor por unidade de tempo é dada por:
Aqui:
  • é a condutividade térmica do material,
  • é o comprimento do cilindro,
  • e são as temperaturas das superfícies externa e interna, respectivamente,
  • e são os raios interno e externo do cilindro,
  • representa o logaritmo natural.

Passo 3

Vamos entender cada parte dessa equação:
  • : Este termo está relacionado à área de superfície do cilindro que está conduzindo o calor. é a área lateral do cilindro, e é a capacidade do material em conduzir calor.
  • : Representa a diferença de temperatura entre as duas superfícies. Quanto maior essa diferença, mais calor será transferido.
  • : Este é o logaritmo natural da razão entre os raios externo e interno. Ele aparece devido à geometria cilíndrica do problema, ajustando a taxa de transferência de calor para a forma circular do cilindro.

Passo 4

Agora, juntando tudo, a equação completa que nos dá a taxa total de transferência de calor através das paredes do cilindro é:

Resposta

A taxa total de transferência de calor através das paredes do cilindro é:

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