c) Um cilindro oco de comprimento L possui uma superficie interna com temperatura T2 e raio a, e uma superficie externa com temperatura T1 e raio b. ( O cilindro poderia representar, por exemplo, um tubo isolado que conduz água quente.) A condutividade térmica do material do cilindro varepsilon epsilon k. Deduza uma equação para a taxa total de transferência de calor através das paredes do cilindro.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro oco com comprimento L, que tem uma superfície interna com temperatura T2 e raio a, e uma superfície externa com temperatura T1 e raio b. O material do cilindro tem uma condutividade térmica representada por k. Nosso objetivo é deduzir uma equação que nos mostre a taxa total de transferência de calor através das paredes desse cilindro.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da Lei de Fourier para condução de calor, que nos diz como o calor se propaga através de um material. Em coordenadas cilíndricas, a taxa de transferência de calor Q por unidade de tempo é dada por:
Q = 2 pi k L (T1 - T2)ln(b/a)
Aqui:
  • k é a condutividade térmica do material,
  • L é o comprimento do cilindro,
  • T1 e T2 são as temperaturas das superfícies externa e interna, respectivamente,
  • a e b são os raios interno e externo do cilindro,
  • ln representa o logaritmo natural.

Passo 3

Vamos entender cada parte dessa equação:
  • 2 pi k L: Este termo está relacionado à área de superfície do cilindro que está conduzindo o calor. 2pi L é a área lateral do cilindro, e k é a capacidade do material em conduzir calor.
  • (T1 - T2): Representa a diferença de temperatura entre as duas superfícies. Quanto maior essa diferença, mais calor será transferido.
  • ln(b/a): Este é o logaritmo natural da razão entre os raios externo e interno. Ele aparece devido à geometria cilíndrica do problema, ajustando a taxa de transferência de calor para a forma circular do cilindro.

Passo 4

Agora, juntando tudo, a equação completa que nos dá a taxa total de transferência de calor através das paredes do cilindro é:
Q = 2 pi k L (T1 - T2)ln(b/a)

Resposta

A taxa total de transferência de calor através das paredes do cilindro é:
Q = 2 pi k L (T1 - T2)ln(b/a)

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