c) Um cilindro oco de comprimento
possui uma superficie interna com temperatura
e raio
, e uma superficie externa com temperatura
e raio
. ( O cilindro poderia representar, por exemplo, um tubo isolado que conduz água quente.) A condutividade térmica do material do cilindro
. Deduza uma equação para a taxa total de transferência de calor através das paredes do cilindro.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro oco com comprimento
, que tem uma superfície interna com temperatura
e raio
, e uma superfície externa com temperatura
e raio
. O material do cilindro tem uma condutividade térmica representada por
. Nosso objetivo é deduzir uma equação que nos mostre a taxa total de transferência de calor através das paredes desse cilindro.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar da Lei de Fourier para condução de calor, que nos diz como o calor se propaga através de um material. Em coordenadas cilíndricas, a taxa de transferência de calor
por unidade de tempo é dada por:
Aqui:
-
é a condutividade térmica do material, -
é o comprimento do cilindro, -
e são as temperaturas das superfícies externa e interna, respectivamente, -
e são os raios interno e externo do cilindro, -
representa o logaritmo natural.
Passo 3
Vamos entender cada parte dessa equação:
-
: Este termo está relacionado à área de superfície do cilindro que está conduzindo o calor. é a área lateral do cilindro, e é a capacidade do material em conduzir calor. -
: Representa a diferença de temperatura entre as duas superfícies. Quanto maior essa diferença, mais calor será transferido. -
: Este é o logaritmo natural da razão entre os raios externo e interno. Ele aparece devido à geometria cilíndrica do problema, ajustando a taxa de transferência de calor para a forma circular do cilindro.
Passo 4
Agora, juntando tudo, a equação completa que nos dá a taxa total de transferência de calor através das paredes do cilindro é:
Resposta
A taxa total de transferência de calor através das paredes do cilindro é: