© Comparando os resultados dos itens (a) e (b), mostre que
e que a função
definida por esse somatório de fato observa as relações
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa comparar os resultados dos itens (a) e (b) e mostrar que a função
definida por
satisfaça as condições
,
e que, para
,
Para resolver isso, vamos passo a passo, explicando cada parte da teoria envolvida.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
e
usando a fórmula dada.
Para
:
Então,
, que confirma a primeira condição.
Passo 3
Agora, vamos calcular
:
Calculando cada termo da soma:
- Para
:
- Para
:
Somando os termos:
Assim,
, confirmando a segunda condição.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que para
, .
Vamos começar escrevendo a expressão para
:
Vamos separar o termo da soma em duas partes: quando
varia de 0 a
e quando
é
. Após ajustar os índices, percebemos que:
Essa relação de recorrência é característica da sequência de Fibonacci, onde cada termo é a soma dos dois anteriores.
Resposta
Portanto, mostramos que a função
definida por
satisfaz as condições
,
e que para todo
,
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?
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no desenvolvimento de
.
Mostre que
pelos seguintes métodos:
(a) Mostre que e some sobre
;
(a) Mostre que