© Comparando os resultados dos itens (a) e (b), mostre que
f(n)=sump=0^[12(n+1)]binomn-p+1p
e que a função f(n) definida por esse somatório de fato observa as relações f(0)=1, f(1)=2 e f(n)=f(n-1)+f(n-2) ^(mathrma)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa comparar os resultados dos itens (a) e (b) e mostrar que a função f(n)=sump=0^[12(n+1)]binomn-p+1p definida por
f(n) = f(n-1) + f(n-2)
satisfaça as condições , e que, para ,
Para resolver isso, vamos passo a passo, explicando cada parte da teoria envolvida.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(0) = sump=0^[12(0+1)] binom0-p+1p = sump=0^0 binom10 = binom10 = 1 e usando a fórmula dada.
Para :
Então, , que confirma a primeira condição.

Passo 3

Agora, vamos calcular f(1) = sump=0^[12(1+1)] binom1-p+1p = sump=0^1 binom2-pp :
binom2-00 = binom20 = 1
Calculando cada termo da soma:
  • Para binom2-11 = binom11 = 1 :
f(1) = 1 + 1 = 2
  • Para :
Somando os termos:
Assim, , confirmando a segunda condição.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que para f(n) = sump=0^[12(n+1)] binomn-p+1p , .
Vamos começar escrevendo a expressão para f(n) = f(n-1) + f(n-2) :
Vamos separar o termo da soma em duas partes: quando varia de 0 a e quando é . Após ajustar os índices, percebemos que:
Essa relação de recorrência é característica da sequência de Fibonacci, onde cada termo é a soma dos dois anteriores.

Resposta

Portanto, mostramos que a função f(n)=sump=0^[12(n+1)]binomn-p+1p definida por
f(n) = f(n-1) + f(n-2
satisfaz as condições , e que para todo ,

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