© Comparando os resultados dos itens (a) e (b), mostre que
e que a função definida por esse somatório de fato observa as relações

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa comparar os resultados dos itens (a) e (b) e mostrar que a função definida por
satisfaça as condições , e que, para ,
Para resolver isso, vamos passo a passo, explicando cada parte da teoria envolvida.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular e usando a fórmula dada.
Para :
Então, , que confirma a primeira condição.

Passo 3

Agora, vamos calcular :
Calculando cada termo da soma:
  • Para :
  • Para :
Somando os termos:
Assim, , confirmando a segunda condição.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que para , .
Vamos começar escrevendo a expressão para :
Vamos separar o termo da soma em duas partes: quando varia de 0 a e quando é . Após ajustar os índices, percebemos que:
Essa relação de recorrência é característica da sequência de Fibonacci, onde cada termo é a soma dos dois anteriores.

Resposta

Portanto, mostramos que a função definida por
satisfaz as condições , e que para todo ,

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