(d) Determine o coeficiente de
no desenvolvimento de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o coeficiente de
na expressão
. Isso envolve trabalhar com expansão de polinômios e combinar termos semelhantes. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Binômio, que nos ajuda a expandir expressões desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir cada parte da expressão separadamente. Começamos com
. Aplicando o Teorema do Binômio:
Agora, expandimos
usando o Teorema do Binômio, que nos dá:
Aqui,
é o coeficiente binomial.
Passo 3
Agora, multiplicamos as duas expansões:
Para encontrar o coeficiente de
, precisamos identificar quais combinações de termos das duas expressões resultam em
.
Passo 4
Vamos considerar cada termo de
multiplicado por
:
- 1
: Isso nos dá todos os termos de , incluindo o com coeficiente . -
: Aqui, para obter , precisamos multiplicar por , cujo coeficiente é . Então, o termo será . -
: Para obter , multiplicamos por , cujo coeficiente é .
Passo 5
Agora, somamos os coeficientes encontrados:
Simplificando:
Resposta
O coeficiente de
no desenvolvimento de
é
.
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;
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, onde os
são números primos e os expoentes
. Por exemplo,
. Determine o número de divisores de
.