(d) Determine o coeficiente de x^n no desenvolvimento de (1-x)^2(x+2)^n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o coeficiente de na expressão . Isso envolve trabalhar com expansão de polinômios e combinar termos semelhantes. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Binômio, que nos ajuda a expandir expressões desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir cada parte da expressão separadamente. Começamos com (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2 . Aplicando o Teorema do Binômio:
(x + 2)^n = sumk=0^n binomnk x^k 2^n - k
Agora, expandimos usando o Teorema do Binômio, que nos dá:
Aqui, é o coeficiente binomial.

Passo 3

Agora, multiplicamos as duas expansões:
(1 - 2x + x^2) times ( sumk=0^n binomnk x^k 2^n - k )
Para encontrar o coeficiente de , precisamos identificar quais combinações de termos das duas expressões resultam em .

Passo 4

Vamos considerar cada termo de multiplicado por :
  1. 1 : Isso nos dá todos os termos de , incluindo o com coeficiente .
  2. : Aqui, para obter , precisamos multiplicar por , cujo coeficiente é . Então, o termo será .
  3. : Para obter , multiplicamos por , cujo coeficiente é .

Passo 5

Agora, somamos os coeficientes encontrados:
Coeficiente total de x^n = 1 - 4n + 2n(n - 1)
Simplificando:
1 - 4n + 2n^2 - 2n = 2n^2 - 6n + 1

Resposta

O coeficiente de no desenvolvimento de é .

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