Mostre que pelos seguintes métodos:
(a) Mostre que e some sobre ;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você pediu. Queremos mostrar que a soma dos quadrados de 1 até é igual a . Para isso, vamos usar uma técnica envolvendo coeficientes binomiais, especificamente mostrando que e depois somar isso para variando de 1 até .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o coeficiente binomial . Ele representa o número de maneiras de escolher elementos entre elementos, sem considerar a ordem. A fórmula para calcular isso é:
onde é o fatorial de .

Passo 3

Agora, vamos calcular e usando a fórmula do coeficiente binomial:

Passo 4

Vamos subtrair de :
Vamos simplificar o numerador:
Fatorando :
Expandindo os produtos:
Então:

Passo 5

Agora que mostramos que , vamos somar isso para de 1 até :
A soma dos é telescópica, ou seja, a maior parte dos termos se cancelam:
Como , temos:
Calculando :

Resposta

Portanto, mostramos que:

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(d) Determine o coeficiente de no desenvolvimento de .
© Comparando os resultados dos itens (a) e (b), mostre que
e que a função definida por esse somatório de fato observa as relações
O teorema fundamental da aritmética garante que todo número inteiro pode ser escrito na forma , onde os são números primos e os expoentes . Por exemplo, . Determine o número de divisores de .