Mostre que 1^2+2^2+cdots+n^2=16 n(n+1)(2 n+1) pelos seguintes métodos:
(a) Mostre que binomk+23-binomk3=k^2 e some sobre k;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você pediu. Queremos mostrar que a soma dos quadrados de 1 até é igual a . Para isso, vamos usar uma técnica envolvendo coeficientes binomiais, especificamente mostrando que e depois somar isso para variando de 1 até .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o coeficiente binomial binomab = a!b!(a-b)! . Ele representa o número de maneiras de escolher elementos entre elementos, sem considerar a ordem. A fórmula para calcular isso é:
onde é o fatorial de .

Passo 3

Agora, vamos calcular binomk+23 = (k+2)(k+1)k3! = (k+2)(k+1)k6 e binomk3 = k(k-1)(k-2)3! = k(k-1)(k-2)6 usando a fórmula do coeficiente binomial:

Passo 4

Vamos subtrair binomk+23 - binomk3 = (k+2)(k+1)k - k(k-1)(k-2)6 de (k+2)(k+1)k - k(k-1)(k-2) = k(k+2)(k+1) - k(k-1)(k-2) :
k[(k+2)(k+1) - (k-1)(k-2)]
Vamos simplificar o numerador:
k[(k^2 + 3k + 2) - (k^2 - 3k + 2)] = k[6k] = 6k^2
Fatorando binomk+23 - binomk3 = 6k^26 = k^2 :
Expandindo os produtos:
Então:

Passo 5

Agora que mostramos que sumk=1^n k^2 = sumk=1^n ( binomk+23 - binomk3 ) , vamos somar isso para sumk=1^n binomk+23 - sumk=1^n binomk3 = binomn+23 - binom13 de 1 até sumk=1^n k^2 = binomn+23 :
binomn+23 = (n+2)(n+1)n6 = n(n+1)(2n+1)6
A soma dos é telescópica, ou seja, a maior parte dos termos se cancelam:
Como , temos:
Calculando :

Resposta

Portanto, mostramos que:
1^2 + 2^2 + cdots + n^2 = 16n(n+1)(2n+1)

Exercícios relacionados