Mostre que
pelos seguintes métodos:
(a) Mostre que
e some sobre
;
(a) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você pediu. Queremos mostrar que a soma dos quadrados de 1 até
é igual a
. Para isso, vamos usar uma técnica envolvendo coeficientes binomiais, especificamente mostrando que
e depois somar isso para
variando de 1 até
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o coeficiente binomial
. Ele representa o número de maneiras de escolher
elementos entre
elementos, sem considerar a ordem. A fórmula para calcular isso é:
onde
é o fatorial de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
usando a fórmula do coeficiente binomial:
Passo 4
Vamos subtrair
de
:
Vamos simplificar o numerador:
Fatorando
:
Expandindo os produtos:
Então:
Passo 5
Agora que mostramos que
, vamos somar isso para
de 1 até
:
A soma dos
é telescópica, ou seja, a maior parte dos termos se cancelam:
Como
, temos:
Calculando
:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
(d) Determine o coeficiente de
no desenvolvimento de
.
© Comparando os resultados dos itens (a) e (b), mostre que
e que a função
definida por esse somatório de fato observa as relações
O teorema fundamental da aritmética garante que todo número inteiro
pode ser escrito na forma
, onde os
são números primos e os expoentes
. Por exemplo,
. Determine o número de divisores de
.