(a) Quantas soluções inteiras não negativas existem para a equação
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pergunta quantas soluções inteiras não negativas existem para a equação
. Esse problema está relacionado ao combinatório, especificamente ao método chamado “Estrelas e Barras”. Para resolver isso, vamos precisar entender como distribuir 16 unidades entre as três variáveis
,
e
de forma que nenhuma delas seja negativa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter soluções inteiras não negativas. Queremos encontrar todos os conjuntos de números inteiros
,
e
que somam 16, onde cada variável pode ser zero ou qualquer número positivo, mas não negativo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método das Estrelas e Barras. Pense em 16 estrelas que representam as unidades que queremos distribuir entre
,
e
. Para separar essas estrelas em três grupos (um para cada variável), usamos 2 barras. Por exemplo:
Isso representaria
,
e
.
Passo 4
O próximo passo é calcular quantas maneiras diferentes podemos distribuir essas barras entre as estrelas. Temos um total de
estrelas e
barras, somando
posições. Queremos escolher 2 dessas 18 posições para colocar as barras.
Passo 5
Usamos a fórmula de combinação para calcular isso:
Onde
(as estrelas) e
(as variáveis
,
,
). Substituindo:
Passo 6
Calculando
:
Resposta
Existem 153 soluções inteiras não negativas para a equação
.