(a) Quantas soluções inteiras não negativas existem para a equação ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pergunta quantas soluções inteiras não negativas existem para a equação . Esse problema está relacionado ao combinatório, especificamente ao método chamado “Estrelas e Barras”. Para resolver isso, vamos precisar entender como distribuir 16 unidades entre as três variáveis , e de forma que nenhuma delas seja negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter soluções inteiras não negativas. Queremos encontrar todos os conjuntos de números inteiros , e que somam 16, onde cada variável pode ser zero ou qualquer número positivo, mas não negativo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método das Estrelas e Barras. Pense em 16 estrelas que representam as unidades que queremos distribuir entre , e . Para separar essas estrelas em três grupos (um para cada variável), usamos 2 barras. Por exemplo:
Isso representaria , e .

Passo 4

O próximo passo é calcular quantas maneiras diferentes podemos distribuir essas barras entre as estrelas. Temos um total de estrelas e barras, somando posições. Queremos escolher 2 dessas 18 posições para colocar as barras.

Passo 5

Usamos a fórmula de combinação para calcular isso:
Onde (as estrelas) e (as variáveis , , ). Substituindo:

Passo 6

Calculando :

Resposta

Existem 153 soluções inteiras não negativas para a equação .

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