No momento em que um sinal de tráfego acende a luz verde, um automóvel parte com uma aceleração constante de
. No mesmo instante, um caminhão, deslocando-se com velocidade constante de 72,0
, está
atrás do automóvel. (a) Esboce um gráfico representando as posições dos veículos em função do tempo. (b) A que distância do seu ponto de partida o automóvel será ultrapassado pelo caminhão? © Qual será a velocidade do automóvel nesse instante? (d) Após essa ultrapassagem, em quanto tempo o automóvel tornará a ultrapassar o caminhão? (e) Qual será a velocidade do automóvel no momento da segunda ultrapassagem? (f) Qual deve ser a velocidade mínima do caminhão para que ele seja capaz de, pelo menos, alcançar o automóvel?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um carro que começa a se movimentar quando o sinal fica verde, acelerando a uma taxa constante de
. Ao mesmo tempo, um caminhão que já está se movendo a uma velocidade constante de
está
atrás do carro. A matéria envolvida aqui é Cinemática, mais especificamente Movimento Uniformemente Variado (para o carro) e Movimento Uniforme (para o caminhão). Vamos precisar usar as equações de posição e velocidade para resolver os itens a seguir.
Passo 2
Item (a): Esboçar o gráfico das posições dos veículos em função do tempo.
Para esboçar os gráficos, precisamos entender que:
- O carro está acelerando, então sua posição em função do tempo será uma curva que aumenta mais rápido à medida que o tempo passa.
- O caminhão está se movendo a velocidade constante, então sua posição será uma linha reta com inclinação constante.
Assim, no gráfico de posição (eixo y) versus tempo (eixo x), a linha do carro vai começar mais inclinada e ficar cada vez mais inclinada, enquanto a do caminhão será uma linha reta.
Passo 3
Item (b): A que distância do ponto de partida o automóvel será ultrapassado pelo caminhão?
Primeiro, vamos converter a velocidade do caminhão de
para
:
Agora, vamos estabelecer as equações de posição para ambos os veículos:
- Carro: Como está acelerando, sua posição em função do tempo é:
onde
.
- Caminhão: Movendo-se a velocidade constante, a posição é:
onde
.
Para encontrar o ponto de ultrapassagem, igualamos as posições:
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática:
Então:
Agora, a dist��ncia:
Passo 4
Item ©: Qual será a velocidade do automóvel nesse instante?
A velocidade do automóvel é dada por:
Passo 5
Item (d): Após essa ultrapassagem, em quanto tempo o automóvel tornará a ultrapassar o caminhão?
Após a primeira ultrapassagem, o caminhão continua a uma velocidade constante e o carro continua a acelerar. Queremos encontrar o tempo adicional até que o carro ultrapasse novamente o caminhão.
A partir do primeiro ponto de ultrapassagem (192,0 m e 13,873 s), definimos o tempo adicional
. As novas posições serão:
Igualando as posições e resolvendo para
, encontramos que o tempo adicional é de aproximadamente 5,0 s.
Passo 6
Item (e): Qual será a velocidade do automóvel no momento da segunda ultrapassagem?
Usando o tempo total
:
Passo 7
Item (f): Qual deve ser a velocidade mínima do caminhão para que ele seja capaz de, pelo menos, alcançar o automóvel?
Para que o caminhão alcance o carro, sua velocidade deve ser igual ou maior que a velocidade final do carro no momento da primeira ultrapassagem.
Sabemos que no instante de ultrapassagem, o carro tem
. Portanto, a velocidade mínima do caminhão deve ser:
Resposta
A velocidade mínima do caminhão para pelo menos alcançar o automóvel é de aproximadamente
.