8.c) Determine expressões algébricas para as componentes radial vrho(t), vtheta(t) transversal e vertical vz(t) do vetor velocidade do centro da bolinha A, em coordenadas cilíndricas

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você precisa encontrar as expressões algébricas para as componentes da velocidade do centro da bolinha A em coordenadas cilíndricas, ou seja, as componentes radial vrho(t), transversal vtheta(t) e vertical vz(t). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática em coordenadas cilíndricas e derivadas em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o sistema de coordenadas cilíndricas. Em vez de usar as coordenadas cartesianas (x, y, z), usamos (rho, theta, z), onde:
  • rho é a distância radial do ponto até a origem no plano xy.
  • theta é o ângulo em relação ao eixo x positivo.
  • z é a altura vertical, igual à coordenada z nas coordenadas cartesianas.

Passo 3

A posição de um ponto em coordenadas cilíndricas é dada por (rho(t), theta(t), z(t)). Para encontrar a velocidade, precisamos derivar essas posições em relação ao tempo t. A velocidade terá três componentes correspondentes às mudanças em rho, theta e z.

Passo 4

Vamos determinar cada componente:
  1. Componente Radial vrho(t):
    Esta é a taxa de variação da distância radial rho em relação ao tempo. Matemáticamente, é a derivada de rho:
    vrho(t) = drho(t)dt
  2. Componente Transversal vtheta(t):
    Esta componente está relacionada à variação do ângulo theta. Como o ponto está girando ao redor da origem, a velocidade angular contribui para essa componente. A expressão é:
    vtheta(t) = rho(t) cdot dtheta(t)dt
  3. Componente Vertical vz(t):
    Esta é a velocidade na direção vertical, simplesmente a taxa de variação de z em relação ao tempo:
    vz(t) = dz(t)dt

Resposta

As expressões algébricas para as componentes da velocidade do centro da bolinha A em coordenadas cilíndricas são:
vrho(t) = dfracdrho(t)dt vtheta(t) = rho(t) cdot dfracdtheta(t)dt vz(t) = dfracdz(t)dt

Exercícios relacionados

Um secador elétrico de roupas, de 5,0 kW, opera a 240 V médios quadráticos. Achar (a) I nup e (b) I mix © Achar as mesmas grandezas num secador de mesma potência mas que opera a 120 V médios quadráticos.
a=bx t I+ay J
em que bx e ay são parâmetros escalares constantes e I e J são vetores unitários das direções horizontal e vertical, respectivamente. Considere:
  • as componentes (vx0, vy0) da velocidade inicial (t0=0 s) da partícula
  • e as coordenadas da posição da partícula (x1, y1) no instante t1=1 s
    Aplique as expressões (3) e (4) para determinar:
    3.a) o vetor velocidade V para um instante t qualquer
theta(t)=pi3 rads t+pi4 rads^2 t^2
A rosca tem passo linear de modo que a variação de altura corresponde a L=r04 pi rad. Considere um sistema de eixos x, y tal que a bolinha esteja no primeiro quadrante se 0^circ, e z=0 no instante t=0.
8.a) Determine a aceleração angular ddottheta ?
Um dielétrico com formato esférico e raio R possui uma carga Q , disribuída uniformemente, com densidade de carga rho>0.
a) Use a lei de Gauss para calcular que o vetor campo elétrico em r, mostrando que ele é dado por: E=Q4 pi epsilon0 R^3 r.