8.c) Determine expressões algébricas para as componentes radial , transversal e vertical do vetor velocidade do centro da bolinha A, em coordenadas cilíndricas
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você precisa encontrar as expressões algébricas para as componentes da velocidade do centro da bolinha A em coordenadas cilíndricas, ou seja, as componentes radial , transversal e vertical . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática em coordenadas cilíndricas e derivadas em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o sistema de coordenadas cilíndricas. Em vez de usar as coordenadas cartesianas , usamos , onde:
é a distância radial do ponto até a origem no plano .
é o ângulo em relação ao eixo positivo.
é a altura vertical, igual à coordenada nas coordenadas cartesianas.
Passo 3
A posição de um ponto em coordenadas cilíndricas é dada por . Para encontrar a velocidade, precisamos derivar essas posições em relação ao tempo . A velocidade terá três componentes correspondentes às mudanças em , e .
Passo 4
Vamos determinar cada componente:
Componente Radial :
Esta é a taxa de variação da distância radial em relação ao tempo. Matemáticamente, é a derivada de :
Componente Transversal :
Esta componente está relacionada à variação do ângulo . Como o ponto está girando ao redor da origem, a velocidade angular contribui para essa componente. A expressão é:
Componente Vertical :
Esta é a velocidade na direção vertical, simplesmente a taxa de variação de em relação ao tempo:
Resposta
As expressões algébricas para as componentes da velocidade do centro da bolinha A em coordenadas cilíndricas são: