8.c) Determine expressões algébricas para as componentes radial
,
transversal e vertical
do vetor velocidade do centro da bolinha A, em coordenadas cilíndricas
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você precisa encontrar as expressões algébricas para as componentes da velocidade do centro da bolinha A em coordenadas cilíndricas, ou seja, as componentes radial
, transversal
e vertical
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática em coordenadas cilíndricas e derivadas em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o sistema de coordenadas cilíndricas. Em vez de usar as coordenadas cartesianas
, usamos
, onde:
-
é a distância radial do ponto até a origem no plano . -
é o ângulo em relação ao eixo positivo. -
é a altura vertical, igual à coordenada nas coordenadas cartesianas.
Passo 3
A posição de um ponto em coordenadas cilíndricas é dada por
. Para encontrar a velocidade, precisamos derivar essas posições em relação ao tempo
. A velocidade terá três componentes correspondentes às mudanças em
,
e
.
Passo 4
Vamos determinar cada componente:
-
Componente Radial
: Esta é a taxa de variação da distância radialem relação ao tempo. Matemáticamente, é a derivada de : -
Componente Transversal
: Esta componente está relacionada à variação do ângulo. Como o ponto está girando ao redor da origem, a velocidade angular contribui para essa componente. A expressão é: -
Componente Vertical
: Esta é a velocidade na direção vertical, simplesmente a taxa de variação deem relação ao tempo:
Resposta
As expressões algébricas para as componentes da velocidade do centro da bolinha A em coordenadas cilíndricas são: