8.c) Determine expressões algébricas para as componentes radial vrho(t), vtheta(t) transversal e vertical vz(t) do vetor velocidade do centro da bolinha A, em coordenadas cilíndricas

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você precisa encontrar as expressões algébricas para as componentes da velocidade do centro da bolinha A em coordenadas cilíndricas, ou seja, as componentes radial vrho(t), transversal vtheta(t) e vertical vz(t). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática em coordenadas cilíndricas e derivadas em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o sistema de coordenadas cilíndricas. Em vez de usar as coordenadas cartesianas (x, y, z), usamos (rho, theta, z), onde:
  • rho é a distância radial do ponto até a origem no plano xy.
  • theta é o ângulo em relação ao eixo x positivo.
  • z é a altura vertical, igual à coordenada z nas coordenadas cartesianas.

Passo 3

A posição de um ponto em coordenadas cilíndricas é dada por (rho(t), theta(t), z(t)). Para encontrar a velocidade, precisamos derivar essas posições em relação ao tempo t. A velocidade terá três componentes correspondentes às mudanças em rho, theta e z.

Passo 4

Vamos determinar cada componente:
  1. Componente Radial vrho(t):
    Esta é a taxa de variação da distância radial rho em relação ao tempo. Matemáticamente, é a derivada de rho:
    vrho(t) = drho(t)dt
  2. Componente Transversal vtheta(t):
    Esta componente está relacionada à variação do ângulo theta. Como o ponto está girando ao redor da origem, a velocidade angular contribui para essa componente. A expressão é:
    vtheta(t) = rho(t) cdot dtheta(t)dt
  3. Componente Vertical vz(t):
    Esta é a velocidade na direção vertical, simplesmente a taxa de variação de z em relação ao tempo:
    vz(t) = dz(t)dt

Resposta

As expressões algébricas para as componentes da velocidade do centro da bolinha A em coordenadas cilíndricas são:
vrho(t) = dfracdrho(t)dt vtheta(t) = rho(t) cdot dfracdtheta(t)dt vz(t) = dfracdz(t)dt

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