Um dielétrico com formato esférico e raio R possui uma carga Q , disribuída uniformemente, com densidade de carga rho>0.
a) Use a lei de Gauss para calcular que o vetor campo elétrico em r, mostrando que ele é dado por: E=Q4 pi epsilon0 R^3 r.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede pra calcular o campo elétrico dentro de uma esfera dielétrica carregada uniformemente usando a Lei de Gauss. A gente vai precisar lembrar como funciona a Lei de Gauss e como aplicá-la em situações com simetria, como aqui que a carga está distribuída de forma igual em toda a esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar uma superfície gaussiana que é uma esfera menor, de raio , onde (ou seja, dentro da esfera carregada). Escolhemos essa forma porque a distribuição de carga é simétrica esfericamente, então o campo elétrico vai ser radial e ter a mesma intensidade em todos os pontos dessa superfície.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Segundo a Lei de Gauss, o fluxo elétrico PhiE = oint E cdot dA = Qencepsilon0 é igual à carga total encerrada Qenc = Q times 43pi r^343pi R^3 = Q ( rR )^3 dividida pela permissividade do vácuo :
Como a carga está distribuída uniformemente, a carga dentro da esfera menor é proporcional ao volume dela. A carga total está distribuída no volume total da esfera maior , então:

Passo 4

O fluxo elétrico também pode ser calculado como o campo elétrico PhiE = E times 4pi r^2 multiplicado pela área da superfície gaussiana E times 4pi r^2 = Qepsilon0 ( rR )^3 :
E = Q4pi epsilon0 R^3 times r
Igualando as duas expressões para o fluxo:
E = Q4pi epsilon0 R^3 r
Resolvendo para :
Ou seja:

Resposta

O campo elétrico dentro da esfera, para E = Q4pi epsilon0 R^3 r , é dado por:

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