Um dielétrico com formato esférico e raio R possui uma carga Q , disribuída uniformemente, com densidade de carga
.
a) Use a lei de Gauss para calcular que o vetor campo elétrico em
, mostrando que ele é dado por:
.
a) Use a lei de Gauss para calcular que o vetor campo elétrico em
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede pra calcular o campo elétrico dentro de uma esfera dielétrica carregada uniformemente usando a Lei de Gauss. A gente vai precisar lembrar como funciona a Lei de Gauss e como aplicá-la em situações com simetria, como aqui que a carga está distribuída de forma igual em toda a esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar uma superfície gaussiana que é uma esfera menor, de raio
, onde
(ou seja, dentro da esfera carregada). Escolhemos essa forma porque a distribuição de carga é simétrica esfericamente, então o campo elétrico
vai ser radial e ter a mesma intensidade em todos os pontos dessa superfície.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Segundo a Lei de Gauss, o fluxo elétrico
é igual à carga total encerrada
dividida pela permissividade do vácuo
:
Como a carga está distribuída uniformemente, a carga dentro da esfera menor é proporcional ao volume dela. A carga total
está distribuída no volume total da esfera maior
, então:
Passo 4
O fluxo elétrico também pode ser calculado como o campo elétrico
multiplicado pela área da superfície gaussiana
:
Igualando as duas expressões para o fluxo:
Resolvendo para
:
Ou seja:
Resposta
O campo elétrico dentro da esfera, para
, é dado por: