Determine f^(101)(1) - f^(100)(1) para as funções dadas a seguir.
(a) f(x) = log2(x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a diferença entre a -a derivada de avaliada em e a -a derivada de também avaliada em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas de ordens elevadas.

Passo 2

Vamos reescrever a função de uma forma que facilite o cálculo das derivadas. Sabemos que:
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma fórmula geral para a -ésima derivada de . Sabemos que a derivada de é . Aplicando a regra de derivação repetidamente, obtemos:

Passo 4

Vamos calcular e usando a fórmula que encontramos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a diferença entre as duas derivadas:
Sabemos que , então:

Resposta

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