Determine
para as funções dadas a seguir.
(a)
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar a diferença entre a
-a derivada de
avaliada em
e a
-a derivada de
também avaliada em
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas de ordens elevadas.
Passo 2
Vamos reescrever a função
de uma forma que facilite o cálculo das derivadas. Sabemos que:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma fórmula geral para a
-ésima derivada de
. Sabemos que a derivada de
é
. Aplicando a regra de derivação repetidamente, obtemos:
Passo 4
Vamos calcular
e
usando a fórmula que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a diferença entre as duas derivadas:
Sabemos que
, então: