c. Equacione o balando de forças para o volume de controle escolhido. Enumere as condições de contorno do problema e encontre a equação do perfil de velocidade em função do raio da tubulação (Dica: com os dados você consegue calcular dP/dx).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente fazer o balanço de forças num volume de controle escolhido numa tubulação. Isso tá dentro do conteúdo de Mecânica dos Fluidos, mais especificamente em dinâmica de fluidos. Vamos precisar entender como as forças atuam no fluido, as condições de contorno (ou seja, as restrições do nosso problema) e usar essas informações pra achar a equação que descreve como a velocidade do fluido varia com o raio da tubulação. A dica também nos lembra que podemos calcular a derivada da pressão em relação ao comprimento da tubulação, .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um volume de controle. Imagina que a gente pega um pedaço de tubo com comprimento e raio . Dentro desse volume, temos forças agindo: a força da pressão na entrada, na saída e as forças de atrito na parede da tubulação que influenciam a velocidade do fluido.

Passo 3

Vamos precisar aplicar a segunda lei de Newton para fluidos, que basicamente diz que a soma das forças é igual à massa do fluido vezes a aceleração. Mas como estamos lidando com fluxo estacionário (sem aceleração), a soma das forças será igual a zero. Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos identificar as forças envolvidas:
  1. Força da pressão na entrada: A pressão na entrada age numa área transversal , então a força é .
  2. Força da pressão na saída: Similar à entrada, mas considerando a pressão na saída, que pode variar.
  3. Força de atrito: A resistência do fluido ao escoamento é causada pelo atrito nas paredes da tubulação. Essa força pode ser expressa usando a viscosidade do fluido e a velocidade do escoamento.

Passo 5

Vamos montar a equação do balanço de forças. Considerando que a pressão na entrada é maior que na saída para manter o fluxo, temos:
í
Onde é a força de atrito que pode ser relacionada com a velocidade do fluido e o gradiente de pressão .

Passo 6

A força de atrito pode ser expressa como:
Onde é a derivada da velocidade em relação ao raio, e é o comprimento do tubo.

Passo 7

Vamos rearranjar a equação para isolar :
Isso nos leva a uma equação diferencial que descreve como a velocidade varia com o raio .

Passo 8

Resolvendo a equação diferencial, a solução geral para o perfil de velocidade em função do raio é:

Resposta

A equação do perfil de velocidade em função do raio da tubulação é:

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