Quando um tanque cilíndrico fechado para atmosfera com 5 m de diâmetro e 10 m de altura estiver completamente cheio de querosene ( D R=0,879 ), qual será a força total exercida sobre sua parede lateral?

Passo 1

Vamos resolver um problema de estática de fluidos. O enunciado nos diz que temos um tanque cilíndrico fechado para a atmosfera, com diâmetro de 5 metros e altura de 10 metros, completamente cheio de querosene. Queremos descobrir a força total que o querosene exerce sobre a parede lateral do tanque.
Para resolver isso, precisamos saber sobre pressão em fluidos e como calcular a força resultante a partir da variação de pressão com a profundidade. Vamos usar a fórmula da pressão em um fluido em equilíbrio e integrar essa pressão sobre toda a altura do tanque para encontrar a força total.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados do problema:
  • Diâmetro do tanque, rho = DR times rhoágua = 0,879 times 1000 = 879 , kg/m^3 m
  • Altura do tanque, m
  • Densidade relativa do querosene,
  • A pressão atmosférica não precisa ser considerada aqui porque o tanque está fechado e queremos apenas a força devido ao querosene.
A densidade do querosene ( ) pode ser encontrada multiplicando a densidade relativa pela densidade da água ( á kg/m³):
á

Passo 3

A pressão em um ponto a uma profundidade P(y) = rho times g times y em um fluido em equilíbrio é dada por:
onde:
  • é a pressão a uma profundidade
  • é a densidade do fluido
  • é a aceleração da gravidade ( m/s²)
  • é a profundidade abaixo da superfície

Passo 4

A força diferencial dF = P(y) times dA exercida sobre uma pequena área diferencial dA = C times dy = pi D times dy na parede lateral do tanque é:
dF = rho g y times pi D , dy
Para um tanque cilíndrico, a área diferencial em termos de e a circunferência é:
Substituindo na expressão da força diferencial:

Passo 5

Para encontrar a força total F = integral0^h rho g y pi D , dy , precisamos integrar desde (superfície) até (fundo do tanque):

Passo 6

Vamos calcular a integral:
F = rho g pi D integral0^h y , dy = rho g pi D [ y^22 ]0^h = rho g pi D ( h^22 )
Simplificando:
F = 12 rho g pi D h^2

Passo 7

Agora, substituímos os valores conhecidos na equação:
F = 12 times 879 , kg/m^3 times 9,81 , m/s^2 times pi times 5 , m times (10 , m)^2
Calculando passo a passo:
F = 12 times 879 times 9,81 times pi times 5 times 100
F = 0,5 times 879 times 9,81 times 3,1416 times 5 times 100
F approx 0,5 times 879 times 9,81 times 3,1416 times 500

Passo 8

Vamos multiplicar os números:
0,5 times 879 = 439,5
439,5 times 9,81 approx 4304,295
4304,295 times 3,1416 approx 13514,7
13514,7 times 500 approx 6.757.350 , N

Resposta

A força total exercida sobre a parede lateral do tanque é aproximadamente newtons.

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