© f: R -> R, f(x) = raiz(x^2 + 1).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida por , onde . O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo, especificamente a derivação de funções. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções que envolvem raízes e expressões quadráticas, usando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. A função pode ser escrita como . Isso nos ajuda a aplicar a regra da cadeia com mais clareza.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para derivar . A regra da cadeia é uma técnica de derivação usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. No nosso caso, temos uma função externa e uma função interna .

Passo 4

De acordo com a regra da cadeia, a derivada de em relação a é:
Primeiro, derivamos a função externa em relação a :
Depois, derivamos a função interna em relação a :

Passo 5

Agora, juntando as duas partes, temos:
Substituindo de volta na expressão:

Passo 6

Simplificando a expressão, os 2s se cancelam:

Resposta

A derivada da função é:

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