(d)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você me enviou. A questão envolve uma função definida por partes:
Esse tipo de função é chamado de função definida por partes. Nosso objetivo provavelmente envolve verificar alguma propriedade dessa função, como continuidade no ponto onde ela muda de definição, que aqui é . Para isso, vamos precisar entender conceitos de limites e continuidade das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Matematicamente, para a continuidade em :
No nosso caso, queremos verificar se é contínua em .

Passo 3

Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ) e pela direita ( ).
Primeiro, o limite pela esquerda:
Agora, o limite pela direita:

Passo 4

Agora, vamos verificar o valor da função em :

Passo 5

Comparando os limites e o valor da função:
Isso significa que os limites laterais são iguais e também iguais ao valor da função em .

Resposta

A função é contínua em , pois .

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Se , encontre .
Use a definição de derivada para demonstrar que sua conjectura em (d) está correta.
© .
Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que o seu volume seja . O material da base vai custar R por e o material dos lados por . Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo do material seja mínimo.