(d)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você me enviou. A questão envolve uma função definida por partes:
Esse tipo de função é chamado de função definida por partes. Nosso objetivo provavelmente envolve verificar alguma propriedade dessa função, como continuidade no ponto onde ela muda de definição, que aqui é
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de limites e continuidade das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando
se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. Matematicamente, para a continuidade em
:
No nosso caso, queremos verificar se
é contínua em
.
Passo 3
Vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
) e pela direita (
).
Primeiro, o limite pela esquerda:
Agora, o limite pela direita:
Passo 4
Agora, vamos verificar o valor da função em
:
Passo 5
Comparando os limites e o valor da função:
Isso significa que os limites laterais são iguais e também iguais ao valor da função em
.
Resposta
A função
é contínua em
, pois
.
Exercícios relacionados
Se
, encontre
.
Use a definição de derivada para demonstrar que sua conjectura em (d) está correta.
©
.
Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que o seu volume seja
. O material da base vai custar R
por
e o material dos lados
por
. Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo do material seja mínimo.