Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que o seu volume seja . O material da base vai custar R por e o material dos lados por . Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo do material seja mínimo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre construir uma caixa sem tampa, com a base quadrada, que precisa ter um volume de . O objetivo é descobrir as medidas dessa caixa de forma que o custo com os materiais seja o menor possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e otimização, além de um pouquinho de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis que vamos usar. Vamos chamar de o lado da base da caixa (em metros) e de a altura da caixa (também em metros). Como a base é quadrada, todos os lados da base terão comprimento .

Passo 3

Sabemos que o volume da caixa é dado por:
Vamos usar essa equação para expressar em função de :

Passo 4

Agora, vamos calcular o custo dos materiais. O custo total vai ser a soma do custo da base com o custo dos quatro lados.
  • Custo da base: Como a base tem área e custa R$ 3,00 por , o custo é:
  • Custo dos lados: Cada lado tem área e são quatro lados, então a área total dos lados é . Como o custo é de R$ 4,00 por , o custo dos lados é:
(Substituímos o custo por a área total dos lados.)

Passo 5

Agora, vamos substituir pela expressão que encontramos no Passo 3:
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar o valor de que minimiza o custo total, vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:

Passo 7

Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo por 6:
Tirando a raiz cúbica:

Passo 8

Agora que encontramos , vamos encontrar usando a expressão que tínhamos:

Resposta

As dimensões da caixa que minimizam o custo são:
  • Lado da base:
  • Altura:

Exercícios relacionados

© .
(d)
(b) .
Em cada item estude a existência de máximos e mínimos globais da função.
(a) .