Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que o seu volume seja
. O material da base vai custar R
por
e o material dos lados
por
. Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo do material seja mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre construir uma caixa sem tampa, com a base quadrada, que precisa ter um volume de
. O objetivo é descobrir as medidas dessa caixa de forma que o custo com os materiais seja o menor possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e otimização, além de um pouquinho de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis que vamos usar. Vamos chamar de
o lado da base da caixa (em metros) e de
a altura da caixa (também em metros). Como a base é quadrada, todos os lados da base terão comprimento
.
Passo 3
Sabemos que o volume da caixa é dado por:
Vamos usar essa equação para expressar
em função de
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o custo dos materiais. O custo total vai ser a soma do custo da base com o custo dos quatro lados.
- Custo da base: Como a base tem área
e custa R$ 3,00 por , o custo é:
- Custo dos lados: Cada lado tem área
e são quatro lados, então a área total dos lados é . Como o custo é de R$ 4,00 por , o custo dos lados é:
(Substituímos o custo por
a área total dos lados.)
Passo 5
Agora, vamos substituir
pela expressão que encontramos no Passo 3:
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar o valor de
que minimiza o custo total, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Passo 7
Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo por 6:
Tirando a raiz cúbica:
Passo 8
Agora que encontramos
, vamos encontrar
usando a expressão que tínhamos:
Resposta
As dimensões da caixa que minimizam o custo são:
- Lado da base:
- Altura:
Exercícios relacionados
©
.
(d)
(b)
.
Em cada item estude a existência de máximos e mínimos globais da função.
(a) .
(a)