© integral0^2 xx+1 d x, n=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de de 0 a 2. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, onde vamos precisar entender como integrar funções racionais usando técnicas de simplificação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração xx+1 = 1 - 1x+1 . Para isso, usamos a divisão de polinômios.
Sabemos que:
xx+1 = (x+1) - 1x+1 = 1 - 1x+1
Isso porque , então:

Passo 3

Agora que simplificamos a fração, podemos reescrever a integral:
integral0^2 xx+1 , dx = integral0^2 (1 - 1x+1) dx
Isso facilita a integração, pois podemos separar a integral em duas partes.

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral0^2 1 , dx - integral0^2 1x+1 , dx
A primeira integral é simples, e a segunda envolve uma função logarítmica.

Passo 5

Calculando a primeira integral:
integral 1 , dx = x
E a segunda integral:
integral 1x+1 , dx = ln|x+1|

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
[ x ]0^2 - [ ln|x+1| ]0^2
Calculando cada parte:
Para 2 - 0 = 2 :
ln(3) - ln(1) = ln(3) - 0 = ln(3)
Para :

Resposta

Assim, a integral vale:
2 - ln(3)

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