Encontre os valores máximo e mínimo globais de no intervalo dado, se possível. Justifique sua resposta.
(h)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo globais da função no intervalo . A função é definida por duas partes diferentes dependendo do valor de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre máximos e mínimos em intervalos fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos críticos da função em cada parte do intervalo. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Além disso, precisamos considerar os extremos do intervalo e .

Passo 3

Vamos analisar a primeira parte da função: para . Essa é uma função linear, e a derivada é constante:
Como a derivada nunca é zero e não tem pontos onde não existe, não há pontos críticos nessa parte.

Passo 4

Agora, a segunda parte da função: para . Essa é uma função quadrática. Vamos calcular a derivada:
Igualando a derivada a zero para encontrar pontos críticos:
Mas não está no intervalo , então não há pontos críticos nessa parte também.

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função nos pontos finais do intervalo e nos pontos onde a definição da função muda, ou seja, em , e .
Calculando :
Calculando (usamos a segunda definição porque em , ):
Calculando :

Passo 6

Com esses valores, podemos comparar para identificar o máximo e o mínimo global no intervalo .
  • (mínimo)
  • (máximo)

Resposta

O valor mínimo global da função no intervalo é em e o valor máximo global é em .

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