Encontre os valores máximo e mínimo globais de
no intervalo dado, se possível. Justifique sua resposta.
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo globais da função
no intervalo
. A função é definida por duas partes diferentes dependendo do valor de
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre máximos e mínimos em intervalos fechados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos críticos da função em cada parte do intervalo. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Além disso, precisamos considerar os extremos do intervalo
e
.
Passo 3
Vamos analisar a primeira parte da função:
para
. Essa é uma função linear, e a derivada é constante:
Como a derivada nunca é zero e não tem pontos onde não existe, não há pontos críticos nessa parte.
Passo 4
Agora, a segunda parte da função:
para
. Essa é uma função quadrática. Vamos calcular a derivada:
Igualando a derivada a zero para encontrar pontos críticos:
Mas
não está no intervalo
, então não há pontos críticos nessa parte também.
Passo 5
Agora, vamos avaliar a função nos pontos finais do intervalo e nos pontos onde a definição da função muda, ou seja, em
,
e
.
Calculando
:
Calculando
(usamos a segunda definição porque em
,
):
Calculando
:
Passo 6
Com esses valores, podemos comparar para identificar o máximo e o mínimo global no intervalo
.
-
(mínimo) -
-
(máximo)
Resposta
O valor mínimo global da função
no intervalo
é
em
e o valor máximo global é
em
.
Exercícios relacionados
UACSA
©
Encontre os valores máximos e mínimos locais e globais de
. Justifique sua resposta.
(h)
(h)
Diga em quais intervalos as funções
a seguir são crescentes e onde são decrescentes.
(b)
(b)