Use integração por partes duas vezes para calcule a seguinte integral definida

Passo 1

Vamos entender o que a gente precisa fazer. O exercício pede para calcular a integral de usando o método de integração por partes duas vezes. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente sobre integrais e técnicas de integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar a fórmula de integração por partes duas vezes e manipular as equações para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes, que é:
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Vamos escolher:
Agora, vamos calcular e :

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes com esses valores:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a nova integral . Vamos aplicar integração por partes novamente. Desta vez, escolhemos:
Calculando e :

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 6

Voltando à nossa expressão anterior:
Distribuindo o 2:

Passo 7

Vamos chamar para facilitar a resolução:
Agora, somamos nos dois lados da equação:
Dividindo ambos os lados por 5:

Resposta

A integral é:

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Calcule as integrais abaixo usando, antes da integração por partes, uma substituição apropriada.
Use integração por partes para calcular as integrais abaixo, durante a integração em alguns itens você vai precisar usar o método de integração por substituição.
Use integração por partes para calcular as integrais definidas abaixo.
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