Use integração por partes duas vezes para calcule a seguinte integral definida
integral e^2 x sen(x) d x

Passo 1

Vamos entender o que a gente precisa fazer. O exercício pede para calcular a integral de usando o método de integração por partes duas vezes. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente sobre integrais e técnicas de integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar a fórmula de integração por partes duas vezes e manipular as equações para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de integração por partes, que é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u = e^2x e dv = sen(x) , dx e du = ddx(e^2x) , dx = 2 e^2x , dx . Vamos escolher:
Agora, vamos calcular v = integral sen(x) , dx = -cos(x) e :

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes com esses valores:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a nova integral u = e^2x e dv = cos(x) , dx . Vamos aplicar integração por partes novamente. Desta vez, escolhemos:
du = ddx(e^2x) , dx = 2 e^2x , dx
Calculando v = integral cos(x) , dx = sen(x) e :

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
integral e^2x cos(x) , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo:
Simplificando:

Passo 6

Voltando à nossa expressão anterior:
Distribuindo o 2:

Passo 7

Vamos chamar para facilitar a resolução:
Agora, somamos I = -e^2x cos(x) + 2 e^2x sen(x) - 4I nos dois lados da equação:
Dividindo ambos os lados por 5:

Resposta

A integral é:

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