Use integração por partes para calcular as integrais definidas abaixo.
integral0^1 / 3 x e^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . O conteúdo que vamos usar aqui é a integração por partes, que é uma técnica para integrar produtos de funções. Para isso, precisamos escolher duas partes da nossa integral para serem e .

Passo 2

Primeiro, identificamos e . Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples quando derivada, e como o restante. Aqui, vamos deixar:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar v = integral e^3x , dx = 13 e^3x e . Para isso, derivamos e integramos :
  • Para , integramos :

Passo 4

Aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x e^3x , dx = x cdot 13 e^3x - integral 13 e^3x cdot 1 , dx

Passo 5

Simplificamos a expressão:
= x3 e^3x - 13 integral e^3x , dx
Agora, integramos integral e^3x , dx = 13 e^3x :

Passo 6

Substituímos de volta na expressão:
= x3 e^3x - 13 cdot 13 e^3x
= x3 e^3x - 19 e^3x
= ( x3 - 19 ) e^3x

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de [ ( x3 - 19 ) e^3x ]0^1/3 a ( 1/33 - 19 ) e^1 = ( 19 - 19 ) e = 0 :
( 0 - 19 ) e^0 = -19
Calculamos para :
E para :

Resposta

A integral definida é .

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