c) Mostrar que se u e v são vetores próprios de uma transformaçâo linear associados :
, entāo
é também vetor próprio associado ao mesmo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrar que se
e
são vetores próprios de uma transformação linear associados ao mesmo valor próprio
, então qualquer combinação linear deles, como
, também é um vetor próprio associado a
. Vamos usar conceitos de transformação linear e vetores próprios para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, é uma função que passa de um espaço vetorial para outro (ou para ele mesmo) que respeita duas propriedades: adição de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 3
Agora, sobre vetores próprios: se
é um vetor próprio de uma transformação linear
, isso significa que quando aplicamos
em
, o resultado é o próprio vetor
multiplicado por um escalar
. Em forma de equação:
O número
é chamado de valor próprio associado ao vetor próprio
.
Passo 4
Sabemos que
e
são vetores próprios associados ao mesmo
. Então, temos:
Passo 5
Queremos mostrar que
também é um vetor próprio associado a
. Vamos aplicar a transformação
nesse vetor:
Passo 6
Usando a propriedade de linearidade da transformação
, podemos distribuir
sobre a soma e os escalares:
Passo 7
Substituindo os valores de
e
que já sabemos ser
e
, respectivamente:
Passo 8
Agora, podemos fatorar
dos termos:
Passo 9
Então, temos que:
Isso mostra que
satisfaz a definição de vetor próprio associado a
.
Resposta
Portanto,
é um vetor próprio da transformação linear
associado ao mesmo valor próprio
.