c) Mostrar que se u e v são vetores próprios de uma transformaçâo linear associados : lambda, entāo alpha u sim beta v é também vetor próprio associado ao mesmo lambda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrar que se e são vetores próprios de uma transformação linear associados ao mesmo valor próprio , então qualquer combinação linear deles, como , também é um vetor próprio associado a . Vamos usar conceitos de transformação linear e vetores próprios para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, é uma função que passa de um espaço vetorial para outro (ou para ele mesmo) que respeita duas propriedades: adição de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 3

Agora, sobre vetores próprios: se T(u) = lambda u é um vetor próprio de uma transformação linear , isso significa que quando aplicamos em , o resultado é o próprio vetor multiplicado por um escalar . Em forma de equação:
O número é chamado de valor próprio associado ao vetor próprio .

Passo 4

Sabemos que T(u) = lambda u e T(v) = lambda v e são vetores próprios associados ao mesmo . Então, temos:

Passo 5

Queremos mostrar que T(alpha u + beta v) também é um vetor próprio associado a . Vamos aplicar a transformação nesse vetor:

Passo 6

Usando a propriedade de linearidade da transformação T(alpha u + beta v) = alpha T(u) + beta T(v) , podemos distribuir sobre a soma e os escalares:

Passo 7

Substituindo os valores de alpha T(u) + beta T(v) = alpha (lambda u) + beta (lambda v) e que já sabemos ser e , respectivamente:

Passo 8

Agora, podemos fatorar alpha (lambda u) + beta (lambda v) = lambda (alpha u + beta v) dos termos:

Passo 9

Então, temos que:
T(alpha u + beta v) = lambda (alpha u + beta v)
Isso mostra que satisfaz a definição de vetor próprio associado a .

Resposta

Portanto, é um vetor próprio da transformação linear associado ao mesmo valor próprio .

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