Para a hélice circular sigma(t)=(cos t, sen t, t), determine: os vetores T, N e B;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os vetores , e para a hélice circular dada por . Isso está relacionado ao estudo do movimento ao longo de uma curva no espaço, usando o Sistema Frenet-Serret. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da posição para achar o vetor tangente , depois o vetor normal e, por fim, o vetor binormal .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor tangente sigma'(t) = ( ddt cos t, ddt sen t, ddt t ) = (-sen t, cos t, 1) . Esse vetor é simplesmente a derivada da posição em relação a | sigma'(t) | = raiz(-sen t)^2 + (cos t)^2 + 1^2 = raizsen^2 t + cos^2 t + 1 = raiz1 + 1 = raiz2 , ou seja, T = sigma'(t)| sigma'(t) | = 1raiz2 (-sen t, cos t, 1) , normalizado (transformado em um vetor unitário).
A derivada de é:
Agora, calculamos a norma desse vetor para normalizar:
Então, o vetor tangente é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor normal T'(t) = 1raiz2 (-cos t, -sen t, 0) . Para isso, precisamos da derivada de | T'(t) | = 1raiz2 raiz(-cos t)^2 + (-sen t)^2 + 0^2 = 1raiz2 raizcos^2 t + sen^2 t = 1raiz2 cdot 1 = 1raiz2 em relação a N = T'(t)| T'(t) | = 1raiz2 (-cos t, -sen t, 0) div 1raiz2 = (-cos t, -sen t, 0) , ou seja, , normalizada.
Primeiro, derivamos :
Calculando a norma de :
Então, o vetor normal é:

Passo 4

Por fim, vamos encontrar o vetor binormal B = T times N . Esse vetor é o produto vetorial entre T = 1raiz2 (-sen t, cos t, 1) N = (-cos t, -sen t, 0) e B = i & j & k -sen traiz2 & cos traiz2 & 1raiz2 -cos t & -sen t & 0 :
Bx = cos traiz2 cdot 0 - 1raiz2 cdot (-sen t) = sen traiz2 By = 1raiz2 cdot (-cos t) - (-sen traiz2) cdot 0 = -cos traiz2 Bz = -sen traiz2 cdot (-sen t) - cos traiz2 cdot (-cos t) = sen^2 t + cos^2 traiz2 = 1raiz2
Vamos calcular:
O produto vetorial é:
Calculando as componentes:
Portanto:

Resposta

Os vetores Frenet são:

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