Para a hélice circular
, determine: os vetores
e
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os vetores
,
e
para a hélice circular dada por . Isso está relacionado ao estudo do movimento ao longo de uma curva no espaço, usando o Sistema Frenet-Serret. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da posição para achar o vetor tangente
, depois o vetor normal
e, por fim, o vetor binormal
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor tangente
. Esse vetor é simplesmente a derivada da posição em relação a
, ou seja,
, normalizado (transformado em um vetor unitário).
A derivada de
é:
Agora, calculamos a norma desse vetor para normalizar:
Então, o vetor tangente
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor normal
. Para isso, precisamos da derivada de
em relação a
, ou seja,
, normalizada.
Primeiro, derivamos
:
Calculando a norma de
:
Então, o vetor normal
é:
Passo 4
Por fim, vamos encontrar o vetor binormal
. Esse vetor é o produto vetorial entre
e
:
Vamos calcular:
O produto vetorial é:
Calculando as componentes:
Portanto:
Resposta
Os vetores Frenet são: