Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma matriz invertível e uma matriz diagonal de forma que . O conteúdo envolvido aqui é de álgebra linear, mais especificamente de diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores e como montar essas matrizes e .
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Autovalores são números que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade do mesmo tamanho de . Resolver essa equação caracteristica nos dá os autovalores de .
Passo 3
Depois de encontrar os autovalores, vamos procurar os autovetores correspondentes a cada autovalor . Para cada , resolvemos o sistema , onde é o autovetor. Esses vetores não nulos formam uma base para o espaço vetorial transformado por .
Passo 4
Com os autovetores em mãos, montamos a matriz . Essa matriz é formada colocando os autovetores como colunas. É importante que os autovetores sejam linearmente independentes, o que garante que seja invertível.
Passo 5
A matriz será uma matriz diagonal onde cada elemento da diagonal principal é um dos autovalores correspondentes aos autovetores colocados em . Ou seja, se são os autovalores, então:
Passo 6
Finalmente, confirmamos que . Isso significa que estamos mudando a base da matriz para a base formada pelos autovetores, o que simplifica para uma matriz diagonal.
Resposta
Então, seguindo esses passos, encontramos a matriz invertível composta pelos autovetores de e a matriz diagonal com os respectivos autovalores. Assim, temos que .