© Obtenha uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que P^-1 A P=D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma matriz invertível e uma matriz diagonal de forma que . O conteúdo envolvido aqui é de álgebra linear, mais especificamente de diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores e como montar essas matrizes e .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Autovalores são números que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade do mesmo tamanho de . Resolver essa equação caracteristica nos dá os autovalores de .

Passo 3

Depois de encontrar os autovalores, vamos procurar os autovetores correspondentes a cada autovalor . Para cada , resolvemos o sistema , onde é o autovetor. Esses vetores não nulos formam uma base para o espaço vetorial transformado por .

Passo 4

Com os autovetores em mãos, montamos a matriz . Essa matriz é formada colocando os autovetores como colunas. É importante que os autovetores sejam linearmente independentes, o que garante que seja invertível.

Passo 5

A matriz D = lambda1 & 0 & cdots & 0 0 & lambda2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & lambdan será uma matriz diagonal onde cada elemento da diagonal principal é um dos autovalores correspondentes aos autovetores colocados em . Ou seja, se são os autovalores, então:

Passo 6

Finalmente, confirmamos que . Isso significa que estamos mudando a base da matriz para a base formada pelos autovetores, o que simplifica para uma matriz diagonal.

Resposta

Então, seguindo esses passos, encontramos a matriz invertível composta pelos autovetores de e a matriz diagonal com os respectivos autovalores. Assim, temos que .

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