Escreva uma equação do plano a nos casos a seguir:
b) a passa pelos pontos A(3,1,-1) e B(1,0,1) e é paralelo ao vetor C D, sendo C(1,2,1) e D(0,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! O enunciado pede para escrever a equação de um plano que passa pelos pontos e , e que é paralelo ao vetor , onde e . Para isso, vamos precisar trabalhar com vetores, pontos e a equação geral do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor AB = B - A = (1-3,, 0-1,, 1-(-1)) = (-2,, -1,, 2) , que vai representar a direção entre os pontos e . Para isso, subtraímos as coordenadas de das de :

Passo 3

Em seguida, vamos identificar o vetor CD = D - C = (0-1,, 1-2,, 0-1) = (-1,, -1,, -1) , que é dado no enunciado:
Como o plano é paralelo a esse vetor, estará contido no plano.

Passo 4

Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal a ele. Sabemos que os vetores n = AB times CD e n = i & j & k -2 & -1 & 2 -1 & -1 & -1 = i cdot [(-1)(-1) - (2)(-1)] - j cdot [(-2)(-1) - (2)(-1)] + k cdot [(-2)(-1) - (-1)(-1)] estão no plano, então o vetor normal pode ser encontrado pelo produto vetorial desses dois vetores:
n = i (1 + 2) - j (2 + 2) + k (2 - 1) = 3i - 4j + 1k
Calculando o produto vetorial:
Então, o vetor normal é .

Passo 5

Agora que temos o vetor normal 3(x - 3) - 4(y - 1) + 1(z + 1) = 0 e um ponto que está no plano, por exemplo, o ponto , podemos usar a equação geral do plano:
Explicando: a equação do plano é dada por , onde é um ponto qualquer no plano e é um ponto conhecido no plano.

Resposta

A equação do plano é:
3x - 4y + z = 6

Exercícios relacionados