Para os conjuntos seguintes, determine se são espaços vetoriais reais, se a adição e multiplicação são as usuais.
(i) O conjunto das matrizes triangulares estrictamente superiores, i.e., o conjunto das matrizes da forma:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se o conjunto das matrizes triangulares estritamente superiores é um espaço vetorial real, usando a adição e multiplicação por escalar que a gente já conhece. Pra resolver isso, vamos precisar lembrar o que é um espaço vetorial e verificar se esse conjunto segue todas as regras que definem um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são essas matrizes triangulares estritamente superiores. Uma matriz triangular estritamente superior é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. No caso das matrizes (ccc 0 & a & b 0 & 0 & c 0 & 0 & 0 ) , elas têm a seguinte forma:
Aqui, , e são números reais. Note que todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero.
Passo 3
Agora, para verificar se esse conjunto é um espaço vetorial, precisamos checar se ele satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Os principais axiomas que vamos verificar são:
Fechamento sob Adição: Se você adicionar duas matrizes triangulares estritamente superiores, o resultado também deve ser uma matriz triangular estritamente superior.
Fechamento sob Multiplicação por Escalar: Se você multiplicar uma matriz triangular estritamente superior por um número real, o resultado também deve ser uma matriz triangular estritamente superior.
Existência do Vetor Zero: Deve existir uma matriz zero no conjunto que, quando adicionada a qualquer matriz, não altera ela.
Existência de Inversos Aditivos: Para cada matriz no conjunto, deve existir outra matriz que, quando adicionada, resulta na matriz zero.
Vamos verificar cada um:
Fechamento sob Adição:
Se temos duas matrizes A + B = (ccc 0 & a1 + a2 & b1 + b2 0 & 0 & c1 + c2 0 & 0 & 0 ) e kA = (ccc 0 & ka & kb 0 & 0 & kc 0 & 0 & 0 ) no conjunto, suas somas serão:
(ccc 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 )
O que ainda é uma matriz triangular estritamente superior, então está fechado sob adição.
Fechamento sob Multiplicação por Escalar:
Se multiplicarmos uma matriz -A = (ccc 0 & -a & -b 0 & 0 & -c 0 & 0 & 0 ) por um escalar :
Isso também é uma matriz triangular estritamente superior, então está fechado sob multiplicação por escalar.
Existência do Vetor Zero:
A matriz zero é:
Ela pertence ao conjunto e age como o vetor zero.
Existência de Inversos Aditivos:
Para cada matriz , existe a matriz , que também está no conjunto:
Pois a soma de e é a matriz zero.
Resposta
Sim, o conjunto das matrizes triangulares estritamente superiores é um espaço vetorial real com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.