Para os conjuntos seguintes, determine se são espaços vetoriais reais, se a adição e multiplicação são as usuais.
(i) O conjunto das matrizes 3 times 3 triangulares estrictamente superiores, i.e., o conjunto das matrizes da forma:
(lll 0 & a & b 0 & 0 & c 0 & 0 & 0 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se o conjunto das matrizes triangulares estritamente superiores é um espaço vetorial real, usando a adição e multiplicação por escalar que a gente já conhece. Pra resolver isso, vamos precisar lembrar o que é um espaço vetorial e verificar se esse conjunto segue todas as regras que definem um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas matrizes triangulares estritamente superiores. Uma matriz triangular estritamente superior é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. No caso das matrizes (ccc 0 & a & b 0 & 0 & c 0 & 0 & 0 ) , elas têm a seguinte forma:
Aqui, , e são números reais. Note que todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero.

Passo 3

Agora, para verificar se esse conjunto é um espaço vetorial, precisamos checar se ele satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Os principais axiomas que vamos verificar são:
  1. Fechamento sob Adição: Se você adicionar duas matrizes triangulares estritamente superiores, o resultado também deve ser uma matriz triangular estritamente superior.
  2. Fechamento sob Multiplicação por Escalar: Se você multiplicar uma matriz triangular estritamente superior por um número real, o resultado também deve ser uma matriz triangular estritamente superior.
  3. Existência do Vetor Zero: Deve existir uma matriz zero no conjunto que, quando adicionada a qualquer matriz, não altera ela.
  4. Existência de Inversos Aditivos: Para cada matriz no conjunto, deve existir outra matriz que, quando adicionada, resulta na matriz zero.
Vamos verificar cada um:
  • Fechamento sob Adição:
    Se temos duas matrizes A + B = (ccc 0 & a1 + a2 & b1 + b2 0 & 0 & c1 + c2 0 & 0 & 0 ) e kA = (ccc 0 & ka & kb 0 & 0 & kc 0 & 0 & 0 ) no conjunto, suas somas serão:
    (ccc 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 )
    O que ainda é uma matriz triangular estritamente superior, então está fechado sob adição.
  • Fechamento sob Multiplicação por Escalar:
    Se multiplicarmos uma matriz -A = (ccc 0 & -a & -b 0 & 0 & -c 0 & 0 & 0 ) por um escalar :
    Isso também é uma matriz triangular estritamente superior, então está fechado sob multiplicação por escalar.
  • Existência do Vetor Zero:
    A matriz zero é:
    Ela pertence ao conjunto e age como o vetor zero.
  • Existência de Inversos Aditivos:
    Para cada matriz , existe a matriz , que também está no conjunto:
    Pois a soma de e é a matriz zero.

Resposta

Sim, o conjunto das matrizes triangulares estritamente superiores é um espaço vetorial real com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.

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