Escreva uma equação do plano a nos casos a seguir:
c) a passa pelos pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria espacial! A gente precisa achar a equação de um plano que passa pelos pontos A(1, 0, 2), B(1, 0, 3) e C(2, 1, 3). Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre vetores e como encontrar a equação de um plano no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano no espaço é dada por:
Onde , e são os coeficientes que correspondem aos componentes do vetor normal ao plano. Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes.
Passo 3
Para achar o vetor normal, precisamos de dois vetores que estão no plano. Vamos criar dois vetores usando os pontos dados:
Vetor : vai de A para B.
Vetor : vai de A para C.
Calculando :
Calculando :
Passo 4
Agora, para encontrar o vetor normal ao plano, fazemos o produto vetorial entre e :
Calculando o produto vetorial:
Então, o vetor normal é .
Passo 5
Com o vetor normal A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 e sabendo que o plano passa pelo ponto A(1, 0, 2), podemos usar a equação do plano:
-1(x - 1) + 1(y - 0) + 0(z - 2) = 0 -1 cdot x + 1 + y = 0 - x + y + 1 = 0 x - y = 1