Escreva uma equação do plano a nos casos a seguir:
c) a passa pelos pontos A(1,0,2), B(1,0,3) e C(2,1,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria espacial! A gente precisa achar a equação de um plano que passa pelos pontos A(1, 0, 2), B(1, 0, 3) e C(2, 1, 3). Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre vetores e como encontrar a equação de um plano no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano no espaço é dada por:
Ax + By + Cz + D = 0
Onde , e são os coeficientes que correspondem aos componentes do vetor normal ao plano. Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes.

Passo 3

Para achar o vetor normal, precisamos de dois vetores que estão no plano. Vamos criar dois vetores usando os pontos dados:
  • Vetor AB = B - A = (1-1, 0-0, 3-2) = (0, 0, 1) : vai de A para B.
  • Vetor AC = C - A = (2-1, 1-0, 3-2) = (1, 1, 1) : vai de A para C.
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Agora, para encontrar o vetor normal ao plano, fazemos o produto vetorial entre n = AB times AC e n = i & j & k 0 & 0 & 1 1 & 1 & 1 = i(0 cdot 1 - 1 cdot 1) - j(0 cdot 1 - 1 cdot 1) + k(0 cdot 1 - 0 cdot 1) = -i + j + 0k = (-1, 1, 0) :
Calculando o produto vetorial:
Então, o vetor normal é .

Passo 5

Com o vetor normal A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 e sabendo que o plano passa pelo ponto A(1, 0, 2), podemos usar a equação do plano:
-1(x - 1) + 1(y - 0) + 0(z - 2) = 0 -1 cdot x + 1 + y = 0 - x + y + 1 = 0 x - y = 1
Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano é:
x - y = 1

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