c) Sejam agora
e
: elas são contínuas? elas são deriváveis? Justifique a resposta.
Passo 1
Beleza, vamos entender a questão! A gente tem duas funções definidas por integrais:
A pergunta é: essas funções
e
são contínuas? E elas são deriváveis? Para responder isso, vamos precisar saber sobre continuidade e derivabilidade de funções definidas por integrais, usando o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua se você consegue desenhá-la sem levantar o lápis do papel, ou seja, não tem “saltos” ou “buracos”. No caso das funções
e
, elas são definidas por integrais de funções
e
em um intervalo. Se
e
são funções contínuas no intervalo considerado, então as integrais deles também serão contínuas. Isso acontece porque a integral de uma função contínua num intervalo resulta em uma função contínua.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre derivabilidade. Uma função é derivável em um ponto se você consegue calcular a sua derivada ali, ou seja, se a inclinação da tangente nesse ponto existe. O Teorema Fundamental do Cálculo diz que se
e
são contínuas em um intervalo, então as funções
e
definidas por essas integrais são deriváveis nesse intervalo, e suas derivadas são exatamente as funções originais:
Isso significa que não só as funções
e
são continuas, mas também que elas têm derivadas em todos os pontos do intervalo, desde que
e
sejam contínuas.
Resposta
Sim, as funções
e
são contínuas e deriváveis em todo o seu domínio, desde que
e
sejam funções contínuas. Isso ocorre porque a integral de uma função contínua é contínua e, segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, essas funções integrais são deriváveis, com suas derivadas sendo
e
, respectivamente.
Exercícios relacionados
Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de
).
(d) .
(d)
Sabe dizer, sem fazer contas, quanto vale a integral a seguir?
Sejam
, infinitas vezes deriváveis, cujos polinômios de Taylor de grau 3 em 0 são, respectivamente,
e
.
Calcule o polinômio de Taylor de grau 2 em 0 da função
Calcule o polinômio de Taylor de grau 2 em 0 da função
e através dele esboçe o gráfico de
perto de 0 .
não aplica