c) Sejam agora F(x)=integral0^x f(t) d t e G(x)=integral0^x g(t) d t : elas são contínuas? elas são deriváveis? Justifique a resposta.

Passo 1

Beleza, vamos entender a questão! A gente tem duas funções definidas por integrais:
F(x) = integral0^x f(t) , dt
G(x) = integral0^x g(t) , dt
A pergunta é: essas funções e são contínuas? E elas são deriváveis? Para responder isso, vamos precisar saber sobre continuidade e derivabilidade de funções definidas por integrais, usando o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua se você consegue desenhá-la sem levantar o lápis do papel, ou seja, não tem “saltos” ou “buracos”. No caso das funções e , elas são definidas por integrais de funções e em um intervalo. Se e são funções contínuas no intervalo considerado, então as integrais deles também serão contínuas. Isso acontece porque a integral de uma função contínua num intervalo resulta em uma função contínua.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre derivabilidade. Uma função é derivável em um ponto se você consegue calcular a sua derivada ali, ou seja, se a inclinação da tangente nesse ponto existe. O Teorema Fundamental do Cálculo diz que se F'(x) = f(x) e G'(x) = g(x) são contínuas em um intervalo, então as funções e definidas por essas integrais são deriváveis nesse intervalo, e suas derivadas são exatamente as funções originais:
Isso significa que não só as funções e são continuas, mas também que elas têm derivadas em todos os pontos do intervalo, desde que e sejam contínuas.

Resposta

Sim, as funções e são contínuas e deriváveis em todo o seu domínio, desde que e sejam funções contínuas. Isso ocorre porque a integral de uma função contínua é contínua e, segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, essas funções integrais são deriváveis, com suas derivadas sendo e , respectivamente.

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