Sejam
, infinitas vezes deriváveis, cujos polinômios de Taylor de grau 3 em 0 são, respectivamente,
e
.
Calcule o polinômio de Taylor de grau 2 em 0 da função
e através dele esboçe o gráfico de
perto de 0 .
Calcule o polinômio de Taylor de grau 2 em 0 da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o polinômio de Taylor de grau 2 em 0 da função
. Estamos trabalhando com polinômios de Taylor, que são ferramentas para aproximar funções perto de um ponto, nesse caso, perto de 0. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia para derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como construir um polinômio de Taylor de grau 2. O polinômio de Taylor de uma função
em torno de 0 é dado por:
Então, precisamos encontrar
,
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando
. Substituindo
na definição de
:
Sabemos que os polinômios de Taylor de
e
até o grau 3 são:
Para
:
Então:
No entanto,
não tem uma antiderivada elementar, mas como estamos procurando o polinômio de Taylor até o grau 2, podemos aproximar
por seu polinômio de Taylor de grau 2:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo e pela regra da diferenciação de integrais com limites que são funções de
:
Precisamos avaliar
. Primeiro, encontramos
,
,
e
:
Então:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda derivada
. Diferenciando
:
Simplificando e avaliando em
:
Então:
Passo 6
Agora que temos
,
e
, podemos montar o polinômio de Taylor de grau 2:
Resposta
O polinômio de Taylor de grau 2 em 0 da função
é:
Com esse polinômio, podemos esboçar o gráfico de
perto de 0 aproximando a função original por esse polinômio quadrático.
Exercícios relacionados
c) Sejam agora
e
: elas são contínuas? elas são deriváveis? Justifique a resposta.
Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de
).
(d) .
(d)
não aplica