Sejam g, h: R R, infinitas vezes deriváveis, cujos polinômios de Taylor de grau 3 em 0 são, respectivamente, T0, g^3=1+x-x^2 e T0, h^3=pi x+2 x^2+x^3.
Calcule o polinômio de Taylor de grau 2 em 0 da função
F(x)=integralg(x)^h(x) e^t^2 d t
e através dele esboçe o gráfico de F perto de 0 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o polinômio de Taylor de grau 2 em 0 da função . Estamos trabalhando com polinômios de Taylor, que são ferramentas para aproximar funções perto de um ponto, nesse caso, perto de 0. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia para derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como construir um polinômio de Taylor de grau 2. O polinômio de Taylor de uma função T0^2(x) = F(0) + F'(0)x + F''(0)2x^2 em torno de 0 é dado por:
Então, precisamos encontrar , e .

Passo 3

Vamos começar calculando F(0) = integralg(0)^h(0) e^t^2 , dt . Substituindo T0, g^3(x) = 1 + x - x^2 e T0, h^3(x) = pi x + 2x^2 + x^3 na definição de g(0) = T0, g^3(0) = 1 e h(0) = T0, h^3(0) = 0 :
F(0) = integral1^0 e^t^2 , dt = -integral0^1 e^t^2 , dt
Sabemos que os polinômios de Taylor de e^t^2 approx 1 + t^2 e F(0) approx -integral0^1 (1 + t^2) , dt = -[ t + t^33 ]0^1 = -(1 + 13) = -43 até o grau 3 são:
Para :
Então:
No entanto, não tem uma antiderivada elementar, mas como estamos procurando o polinômio de Taylor até o grau 2, podemos aproximar por seu polinômio de Taylor de grau 2:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada F'(x) = e^h(x)^2 cdot h'(x) - e^g(x)^2 cdot g'(x) . Pelo Teorema Fundamental do Cálculo e pela regra da diferenciação de integrais com limites que são funções de g(0) = 1, h(0) = 0 :
g'(x) = ddx(1 + x - x^2) = 1 - 2x Rightarrow g'(0) = 1
Precisamos avaliar h'(x) = ddx(pi x + 2x^2 + x^3) = pi + 4x + 3x^2 Rightarrow h'(0) = pi . Primeiro, encontramos F'(0) = e^0^2 cdot pi - e^1^2 cdot 1 = pi - e , , e :
Então:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda derivada F''(x) = ddx (e^h(x)^2 cdot h'(x) - e^g(x)^2 cdot g'(x)) . Diferenciando F''(x) = e^h(x)^2 cdot (2h(x) cdot h'(x)) cdot h'(x) + e^h(x)^2 cdot h''(x) - e^g(x)^2 cdot (2g(x) cdot g'(x)) cdot g'(x) - e^g(x)^2 cdot g''(x) :
h(0) = 0, h'(0) = pi, h''(x) = ddx(pi + 4x + 3x^2) = 4 + 6x Rightarrow h''(0) = 4
g(0) = 1, g'(0) = 1, g''(x) = ddx(1 - 2x) = -2 Rightarrow g''(0) = -2
Simplificando e avaliando em F''(0) = e^0 cdot (2 cdot 0 cdot pi) cdot pi + e^0 cdot 4 - e^1 cdot (2 cdot 1 cdot 1) cdot 1 - e^1 cdot (-2) :
F''(0) = 0 + 4 - 2e + 2e = 4
Então:

Passo 6

Agora que temos T0^2(x) = -43 + (pi - e)x + 42x^2 = -43 + (pi - e)x + 2x^2 , e , podemos montar o polinômio de Taylor de grau 2:

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 2 em 0 da função T0^2(x) = -43 + (pi - e)x + 2x^2 é:
Com esse polinômio, podemos esboçar o gráfico de perto de 0 aproximando a função original por esse polinômio quadrático.

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