Sejam , infinitas vezes deriváveis, cujos polinômios de Taylor de grau 3 em 0 são, respectivamente, e .
Calcule o polinômio de Taylor de grau 2 em 0 da função
e através dele esboçe o gráfico de perto de 0 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o polinômio de Taylor de grau 2 em 0 da função . Estamos trabalhando com polinômios de Taylor, que são ferramentas para aproximar funções perto de um ponto, nesse caso, perto de 0. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia para derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como construir um polinômio de Taylor de grau 2. O polinômio de Taylor de uma função em torno de 0 é dado por:
Então, precisamos encontrar , e .

Passo 3

Vamos começar calculando . Substituindo na definição de :
Sabemos que os polinômios de Taylor de e até o grau 3 são:
Para :
Então:
No entanto, não tem uma antiderivada elementar, mas como estamos procurando o polinômio de Taylor até o grau 2, podemos aproximar por seu polinômio de Taylor de grau 2:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada . Pelo Teorema Fundamental do Cálculo e pela regra da diferenciação de integrais com limites que são funções de :
Precisamos avaliar . Primeiro, encontramos , , e :
Então:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda derivada . Diferenciando :
Simplificando e avaliando em :
Então:

Passo 6

Agora que temos , e , podemos montar o polinômio de Taylor de grau 2:

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 2 em 0 da função é:
Com esse polinômio, podemos esboçar o gráfico de perto de 0 aproximando a função original por esse polinômio quadrático.

Exercícios relacionados

c) Sejam agora e : elas são contínuas? elas são deriváveis? Justifique a resposta.
Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de ).
(d) .
não aplica
,