Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de
).
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a integral
. O que isso significa? A função
representa a parte inteira de
, ou seja, o maior número inteiro que é menor ou igual a
. Nosso objetivo é verificar se podemos usar o teorema da média integral para resolver essa integral e, se sim, encontrar um ponto que satisfaça o teorema. Para isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções e como aplicar o teorema da média.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema da média integral. Esse teorema diz que se uma função
é contínua em um intervalo
, então existe pelo menos um ponto
em
tal que:
Ou seja, a integral da função no intervalo é igual ao valor da função em algum ponto multiplicado pelo comprimento do intervalo.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a função
é contínua no intervalo
. A função parte inteira tem saltos nos números inteiros, como
, etc., porque ela “salta” para o próximo número inteiro menor ou igual ao
em cada ponto inteiro. Isso significa que
não é contínua em todo o intervalo
, já que ela apresenta descontinuidades nesses pontos.
Passo 4
Como o teorema da média integral exige que a função seja contínua em todo o intervalo considerado, e nós identificamos que
não é contínua em
, não podemos aplicar o teorema da média integral diretamente para essa integral.
Resposta
Não, o teorema da média integral para funções contínuas não pode ser aplicado à integral
porque a função
não é contínua no intervalo considerado.
Exercícios relacionados
Sabe dizer, sem fazer contas, quanto vale a integral a seguir?
Considere as funções a seguir (
é parte inteira de
):
Elas são integráveis em ?
Elas são integráveis em
c) Sejam agora
e
: elas são contínuas? elas são deriváveis? Justifique a resposta.
Sejam
, infinitas vezes deriváveis, cujos polinômios de Taylor de grau 3 em 0 são, respectivamente,
e
.
Calcule o polinômio de Taylor de grau 2 em 0 da função
Calcule o polinômio de Taylor de grau 2 em 0 da função
e através dele esboçe o gráfico de
perto de 0 .