Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de ).
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a integral . O que isso significa? A função representa a parte inteira de , ou seja, o maior número inteiro que é menor ou igual a . Nosso objetivo é verificar se podemos usar o teorema da média integral para resolver essa integral e, se sim, encontrar um ponto que satisfaça o teorema. Para isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções e como aplicar o teorema da média.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema da média integral. Esse teorema diz que se uma função é contínua em um intervalo , então existe pelo menos um ponto em tal que:
Ou seja, a integral da função no intervalo é igual ao valor da função em algum ponto multiplicado pelo comprimento do intervalo.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a função é contínua no intervalo . A função parte inteira tem saltos nos números inteiros, como , etc., porque ela “salta” para o próximo número inteiro menor ou igual ao em cada ponto inteiro. Isso significa que não é contínua em todo o intervalo , já que ela apresenta descontinuidades nesses pontos.

Passo 4

Como o teorema da média integral exige que a função seja contínua em todo o intervalo considerado, e nós identificamos que não é contínua em , não podemos aplicar o teorema da média integral diretamente para essa integral.

Resposta

Não, o teorema da média integral para funções contínuas não pode ser aplicado à integral porque a função não é contínua no intervalo considerado.

Exercícios relacionados

Sabe dizer, sem fazer contas, quanto vale a integral a seguir?
Considere as funções a seguir ( é parte inteira de ):

Elas são integráveis em ?
c) Sejam agora e : elas são contínuas? elas são deriváveis? Justifique a resposta.
Sejam , infinitas vezes deriváveis, cujos polinômios de Taylor de grau 3 em 0 são, respectivamente, e .
Calcule o polinômio de Taylor de grau 2 em 0 da função
e através dele esboçe o gráfico de perto de 0 .