Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de u ).
(d) integral-2^2.5[[u]] d u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a integral . O que isso significa? A função representa a parte inteira de , ou seja, o maior número inteiro que é menor ou igual a . Nosso objetivo é verificar se podemos usar o teorema da média integral para resolver essa integral e, se sim, encontrar um ponto que satisfaça o teorema. Para isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções e como aplicar o teorema da média.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema da média integral. Esse teorema diz que se uma função integrala^b f(u) , du = f(c) cdot (b - a) é contínua em um intervalo , então existe pelo menos um ponto em tal que:
Ou seja, a integral da função no intervalo é igual ao valor da função em algum ponto multiplicado pelo comprimento do intervalo.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a função é contínua no intervalo . A função parte inteira tem saltos nos números inteiros, como , etc., porque ela “salta” para o próximo número inteiro menor ou igual ao em cada ponto inteiro. Isso significa que não é contínua em todo o intervalo , já que ela apresenta descontinuidades nesses pontos.

Passo 4

Como o teorema da média integral exige que a função seja contínua em todo o intervalo considerado, e nós identificamos que não é contínua em , não podemos aplicar o teorema da média integral diretamente para essa integral.

Resposta

Não, o teorema da média integral para funções contínuas não pode ser aplicado à integral porque a função não é contínua no intervalo considerado.

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