Sabe dizer, sem fazer contas, quanto vale a integral a seguir?
integral-4^3 sin (x) e^-x^2 d x-integral-4^-3 sin (x) e^-x^2 d x

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos duas integrais envolvendo a função sin(x) e^-x^2 com diferentes intervalos de integração. O conteúdo principal aqui é cálculo integral, especialmente a propriedade de funções ímpares e integrais em intervalos simétricos. Para resolver, vamos combinar as integrais e usar propriedades de funções ímpares.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão dada é:
integral-4^3 sin(x) e^-x^2 dx - integral-4^-3 sin(x) e^-x^2 dx
Queremos simplificar essa expressão para facilitar a avaliação.

Passo 3

Podemos reescrever a primeira integral como a soma das integrais de -4 a -3 e de -3 a 3:
integral-4^3 sin(x) e^-x^2 dx = integral-4^-3 sin(x) e^-x^2 dx + integral-3^3 sin(x) e^-x^2 dx

Passo 4

Substituindo essa expressão na equação original, temos:
( integral-4^-3 sin(x) e^-x^2 dx + integral-3^3 sin(x) e^-x^2 dx ) - integral-4^-3 sin(x) e^-x^2 dx
As integrais de -4 a -3 se cancelam, restando apenas:
integral-3^3 sin(x) e^-x^2 dx

Passo 5

Agora, vamos analisar a função sin(x) e^-x^2. A função sin(x) é ímpar, ou seja, sin(-x) = -sin(x). Já e^-x^2 é uma função par, pois e^-(-x)^2 = e^-x^2. O produto de uma função ímpar e uma função par resulta em uma função ímpar:
sin(-x) e^-(-x)^2 = -sin(x) e^-x^2 = -( sin(x) e^-x^2 )

Passo 6

Sabemos que a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero é zero:
integral-a^a f(x) dx = 0 se f for ímpar í
No nosso caso, a = 3 e a função sin(x) e^-x^2 é ímpar, então:
integral-3^3 sin(x) e^-x^2 dx = 0

Resposta

O valor da integral é zero.

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