Sabe dizer, sem fazer contas, quanto vale a integral a seguir?
Passo 1
Vamos analisar o problema: temos duas integrais envolvendo a função
com diferentes intervalos de integração. O conteúdo principal aqui é cálculo integral, especialmente a propriedade de funções ímpares e integrais em intervalos simétricos. Para resolver, vamos combinar as integrais e usar propriedades de funções ímpares.
Passo 2
Primeiro, observamos que a expressão dada é:
Queremos simplificar essa expressão para facilitar a avaliação.
Passo 3
Podemos reescrever a primeira integral como a soma das integrais de
a
e de
a
:
Passo 4
Substituindo essa expressão na equação original, temos:
As integrais de
a
se cancelam, restando apenas:
Passo 5
Agora, vamos analisar a função
. A função
é ímpar, ou seja,
. Já
é uma função par, pois
. O produto de uma função ímpar e uma função par resulta em uma função ímpar:
Passo 6
Sabemos que a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero é zero:
No nosso caso,
e a função
é ímpar, então:
Resposta
O valor da integral é zero.
Exercícios relacionados
Considere as funções a seguir (
é parte inteira de
):
Elas são integráveis em ?
Elas são integráveis em
Mostre, usando a definição de integral, que:
a) Se é uma função par e é integrável em
, então é também integrável em
e vale
. Deduza que se
então
.
b) Se é uma função ímpar e é integrável em
, então é também integrável em
e vale
. Deduza que se
então
.
a) Se
b) Se
Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de
).
(d) .
(d)
c) Sejam agora
e
: elas são contínuas? elas são deriváveis? Justifique a resposta.