Sabe dizer, sem fazer contas, quanto vale a integral a seguir?

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos duas integrais envolvendo a função com diferentes intervalos de integração. O conteúdo principal aqui é cálculo integral, especialmente a propriedade de funções ímpares e integrais em intervalos simétricos. Para resolver, vamos combinar as integrais e usar propriedades de funções ímpares.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão dada é:
Queremos simplificar essa expressão para facilitar a avaliação.

Passo 3

Podemos reescrever a primeira integral como a soma das integrais de a e de a :

Passo 4

Substituindo essa expressão na equação original, temos:
As integrais de a se cancelam, restando apenas:

Passo 5

Agora, vamos analisar a função . A função é ímpar, ou seja, . Já é uma função par, pois . O produto de uma função ímpar e uma função par resulta em uma função ímpar:

Passo 6

Sabemos que a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero é zero:
í
No nosso caso, e a função é ímpar, então:

Resposta

O valor da integral é zero.

Exercícios relacionados

Considere as funções a seguir ( é parte inteira de ):

Elas são integráveis em ?
Mostre, usando a definição de integral, que:
a) Se é uma função par e é integrável em , então é também integrável em e vale . Deduza que se então .
b) Se é uma função ímpar e é integrável em , então é também integrável em e vale . Deduza que se então .
Nas integrais abaixo, verifique se pode ser aplicado o teorema da média integral (na sua versão para funções contínuas) e no caso encontre um ponto que satisfaça a tese do teorema ([[u]] indica a parte inteira de ).
(d) .
c) Sejam agora e : elas são contínuas? elas são deriváveis? Justifique a resposta.