c) Tomemos agora uma outra função phi2(x)=B x^2(L-x)^2. Normalize esta função de onda, ou seja, determine o valor da constante de normalização B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que normalizar a função de onda . Normalizar, nesse contexto, significa encontrar o valor de que faz com que a integral da função de onda ao quadrado seja igual a 1. Ou seja, vamos garantir que toda a “probabilidade” esteja distribuída corretamente. Para isso, vamos usar o conceito de normalização de funções na Mecânica Quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição de normalização. Queremos que a integral de integral0^L phi2(x)^2 , dx = 1 de integral0^L (B x^2(L - x)^2)^2 , dx = 1 a seja igual a 1. Então temos:
Substituindo pela expressão dada:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(B x^2(L - x)^2)^2 = B^2 x^4(L - x)^4
Então, a condição de normalização fica:
B^2 integral0^L x^4(L - x)^4 , dx = 1

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral integral0^L x^4(L - x)^4 , dx = L^9 integral0^1 z^4(1 - z)^4 , dz . Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variável. Seja integral0^L x^4(L - x)^4 , dx = L^9 times 1630 = L^9630 , então e . Quando , e quando , . Substituindo na integral:
A integral é conhecida e vale . Portanto:

Passo 5

Substituindo o resultado da integral de volta na condição de normalização:
B^2 times L^9630 = 1
Resolvendo para B^2 = 630L^9 :
B = raiz630L^92
Tirando a raiz quadrada dos dois lados para encontrar raiz630 = raiz9 times 70 = 3raiz70 :
B = 3raiz70L^92
Simplificando :
Então, finalmente:

Resposta

B = dfrac3, raiz70L^, 92

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