c) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Estamos lidando com uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo que pode ser resolvida por substituição. Para resolver isso, vamos precisar usar substituições inteligentes e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Essa substituição ajuda a reduzir a complexidade da equação original. Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a :

Passo 3

Agora, substituímos na expressão acima usando a equação original:
Substituindo isso na derivada de :
Simplificando:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 4

Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Lembrando que fizemos a substituição , substituímos de volta:
Podemos reorganizar para deixar a solução de forma mais clara:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Derive:
w)
Derive:
r)
e)
Use uma aproximação linear ou diferencial para estimar os números:
c) .