O cabo AC, de 21 m, está sujeito a uma tração de 26250 N. Determine: os ângulos thetax, thetay e thetaz que determinam a direção da força aplicada em C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Recebemos um exercício onde temos um cabo AC com 21 metros de comprimento que está sendo puxado com uma força de 26.250 N. Nosso objetivo é descobrir os ângulos , e que mostram a direção dessa força aplicada no ponto C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e trigonometria, que nos ajudam a entender como a força está distribuída nas três direções espaciais (x, y e z).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer força no espaço pode ser decomposta em três componentes ao longo dos eixos x, y e z. Essas componentes são dadas por:
F = Fx i + Fy j + Fz k
onde , e são as magnitudes das componentes da força nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Sabemos que o comprimento do cabo AC é 21 m e a força aplicada é de 26.250 N. Para encontrar os ângulos , e , precisamos relacionar essas componentes com o comprimento do cabo e a força total.
Primeiro, vamos considerar que o cabo forma um vetor que tem direção e sentido. A força exercida pelo cabo é ao longo desse vetor.

Passo 4

Vamos usar as relações trigonométricas para encontrar os ângulos. Os ângulos de direção podem ser encontrados usando as seguintes fórmulas:
cos(thetax) = Fx|F|
cos(thetay) = Fy|F|
cos(thetaz) = Fz|F|
onde é a magnitude da força total, que já sabemos ser 26.250 N.

Passo 5

Para encontrar Fx = |F| cdot cos(thetax) , Fy = |F| cdot cos(thetay) e Fz = |F| cdot cos(thetaz) , precisamos saber as projeções do cabo nas direções x, y e z. Assumindo que o cabo está posicionado de tal forma que suas projeções são proporcionais ao comprimento total, podemos escrever:

Passo 6

Agora, precisamos relacionar esses componentes com o comprimento do cabo. Se assumirmos que o cabo forma um ângulo igual em todas as direções (o que pode não ser o caso real, mas sem mais informações, é uma hipótese), então:
cos(thetax) = cos(thetay) = cos(thetaz)
E como as componentes são iguais, podemos dizer que:
thetax = thetay = thetaz

Passo 7

Então, para encontrar o valor de um desses ângulos, podemos usar a seguinte relação, sabendo que a soma dos quadrados dos cossenos dos ângulos em três dimensões é igual a 1:
cos^2(thetax) + cos^2(thetay) + cos^2(thetaz) = 1
Como 3 cos^2(thetax) = 1 , temos:
cos^2(thetax) = 13
cos(thetax) = 1raiz3

Passo 8

Agora, calculamos o ângulo usando a função arco cosseno ( thetax = arccos(1raiz3) approx 54.74^circ ):
thetax approx thetay approx thetaz approx 54.74^circ
Como todos os ângulos são iguais:

Resposta

Os ângulos que determinam a direção da força aplicada em C são aproximadamente para , e .

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