Uma força é aplicada na origem e tem direção determinada pelos ângulos thetax=75^circ e thetaz=130^circ. Sabendo que a componente y da força é +1500 N , determine: as componentes e o módulo da força.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma força está sendo aplicada na origem com direções determinadas pelos ângulos thetax=75^circ e thetaz=130^circ. A gente sabe que a componente y dessa força é +1500 N. Nosso objetivo é descobrir todas as componentes da força ( Fx, Fy, Fz) e o módulo total da força.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são esses ângulos thetax e thetaz. Eles são chamados de ângulos diretores e representam os ângulos que a força faz com cada um dos eixos coordenados. Ou seja, thetax é o ângulo entre a força e o eixo x, e thetaz é o ângulo entre a força e o eixo z.

Passo 3

A relação entre as componentes da força e os ângulos diretores é dada por:
Fx = F cdot cos(thetax)
Fy = F cdot cos(thetay)
Fz = F cdot cos(thetaz)
Onde F é o módulo da força e thetay é o ângulo com o eixo y.

Passo 4

Sabemos que as componentes devem satisfazer a seguinte condição:
cos^2(thetax) + cos^2(thetay) + cos^2(thetaz) = 1
Isso vem do fato de que os vetores unitários no espaço tridimensional obedecem essa relação.

Passo 5

Vamos usar essa relação para encontrar cos(thetay). Sabemos que thetax = 75^circ e thetaz = 130^circ:
cos(75^circ) approx 0,2588
cos(130^circ) approx -0,6428
Agora substituímos na equação:
(0,2588)^2 + cos^2(thetay) + (-0,6428)^2 = 1
0,0669 + cos^2(thetay) + 0,4132 = 1
cos^2(thetay) = 1 - 0,0669 - 0,4132 = 0,5199
cos(thetay) = raiz0,5199 approx 0,7201

Passo 6

Agora que temos cos(thetay) approx 0,7201, podemos encontrar o módulo da força F usando a componente Fy = 1500,N:
Fy = F cdot cos(thetay)
1500 = F cdot 0,7201
F approx 15000,7201 approx 2083,N

Passo 7

Com o módulo da força F approx 2083,N, vamos calcular as outras componentes:
Fx = 2083 cdot cos(75^circ) approx 2083 cdot 0,2588 approx 539,N
Fz = 2083 cdot cos(130^circ) approx 2083 cdot (-0,6428) approx -1337,N

Resposta

As componentes da força são:
Fx approx 539,N, Fy = 1500,N, Fz approx -1337,N
E o módulo da força é aproximadamente 2083,N.

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