Um cabo cilíndrico de comprimento L e raio a feito de material com resistividade rho, conduz uma corrente estacionária I uniformemente distribuída em sua seção reta. (a) Calcule o campo elétrico no interior do cabo. (b) Calcule o campo magnético na superfície do cabo. © Calcule o vetor de Poynting na superfície do cabo. (d) Mostre que o fluxo do vetor de Poynting na superfície do cabo é igual a R I^2, sendo R a resistência elétrica do cabo; ou seja, o fluxo de S é igual à energia dissipada por efeito Joule no cabo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo! Temos um cabo cilíndrico com comprimento e raio , feito de um material com resistividade . Esse cabo está conduzindo uma corrente estacionária de maneira uniforme pela sua seção transversal. Vamos precisar de conceitos de eletrostática, eletromagnetismo (especialmente campos elétricos e magnéticos) e do conceito de fluxo do vetor de Poynting. Vamos resolver as partes (a) até (d) passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Calcular o campo elétrico no interior do cabo.
Primeiro, sabemos que para um material condutor em regime estacionário, o campo elétrico é responsável por causar o fluxo de corrente. A relação entre o campo elétrico J = sigma E e a corrente J = IA = Ipi a^2 é dada pela lei de Ohm generalizada:
E = Jsigma = Ipi a^2 sigma = I rhopi a^2
onde é a densidade de corrente e é a condutividade elétrica ( ).
A densidade de corrente pode ser relacionada com a corrente total e a área da seção transversal :
Isolando o campo elétrico:

Passo 3

Parte (b): Calcular o campo magnético na superfície do cabo.
Para calcular o campo magnético oint B cdot dl = mu0 Ienc na superfície do cabo, usamos a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético ao redor de um condutor com a corrente que passa por ele:
B cdot 2pi a = mu0 I
Para um cabo cilíndrico, a simetria nos permite simplificar a integral para:
B = mu0 I2pi a
Portanto, o campo magnético na superfície é:

Passo 4

Parte ©: Calcular o vetor de Poynting na superfície do cabo.
O vetor de Poynting S = E times H representa a densidade de fluxo de energia eletromagnética e é dado por:
H = Bmu0
Onde S = E times ( Bmu0 ) é o campo magnético relacionado por S = E Bmu0 . Então:
S = ( I rhopi a^2 ) ( mu0 I2pi a ) mu0 = I^2 rho2 pi^2 a^3
Substituindo:
Como e são perpendiculares, o módulo de é:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Parte (d): Mostrar que o fluxo do vetor de Poynting na superfície do cabo é igual a PhiS = S cdot A , onde A = 2pi a L é a resistência elétrica do cabo.
Primeiro, calculamos o fluxo PhiS = I^2 rho2 pi^2 a^3 cdot 2pi a L = I^2 rho Lpi a^2 do vetor de Poynting através da superfície do cabo:
R = rho Lpi a^2
A área da superfície lateral do cabo é:
PhiS = I^2 R
Então:
Agora, a resistência elétrica do cabo é dada por:
Portanto:
Isso mostra que o fluxo do vetor de Poynting é igual à energia dissipada por efeito Joule no cabo.

Resposta

Através dos cálculos, demonstramos que o fluxo do vetor de Poynting na superfície do cabo é igual a , onde é a resistência elétrica do cabo, confirmando que a energia dissipada por efeito Joule no cabo é igual ao fluxo calculado.

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