Um cabo cilíndrico de comprimento
e raio a feito de material com resistividade
, conduz uma corrente estacionária I uniformemente distribuída em sua seção reta. (a) Calcule o campo elétrico no interior do cabo. (b) Calcule o campo magnético na superfície do cabo. © Calcule o vetor de Poynting na superfície do cabo. (d) Mostre que o fluxo do vetor de Poynting na superfície do cabo é igual a
, sendo
a resistência elétrica do cabo; ou seja, o fluxo de
é igual à energia dissipada por efeito Joule no cabo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo! Temos um cabo cilíndrico com comprimento
e raio
, feito de um material com resistividade
. Esse cabo está conduzindo uma corrente estacionária
de maneira uniforme pela sua seção transversal. Vamos precisar de conceitos de eletrostática, eletromagnetismo (especialmente campos elétricos e magnéticos) e do conceito de fluxo do vetor de Poynting. Vamos resolver as partes (a) até (d) passo a passo.
Passo 2
Parte (a): Calcular o campo elétrico no interior do cabo.
Primeiro, sabemos que para um material condutor em regime estacionário, o campo elétrico é responsável por causar o fluxo de corrente. A relação entre o campo elétrico
e a corrente
é dada pela lei de Ohm generalizada:
onde
é a densidade de corrente e
é a condutividade elétrica (
).
A densidade de corrente
pode ser relacionada com a corrente total
e a área da seção transversal
:
Isolando o campo elétrico:
Passo 3
Parte (b): Calcular o campo magnético na superfície do cabo.
Para calcular o campo magnético
na superfície do cabo, usamos a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético ao redor de um condutor com a corrente que passa por ele:
Para um cabo cilíndrico, a simetria nos permite simplificar a integral para:
Portanto, o campo magnético na superfície é:
Passo 4
Parte ©: Calcular o vetor de Poynting na superfície do cabo.
O vetor de Poynting
representa a densidade de fluxo de energia eletromagnética e é dado por:
Onde
é o campo magnético relacionado por
. Então:
Substituindo:
Como
e
são perpendiculares, o módulo de
é:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Parte (d): Mostrar que o fluxo do vetor de Poynting na superfície do cabo é igual a
, onde
é a resistência elétrica do cabo.
Primeiro, calculamos o fluxo
do vetor de Poynting através da superfície do cabo:
A área da superfície lateral do cabo é:
Então:
Agora, a resistência elétrica
do cabo é dada por:
Portanto:
Isso mostra que o fluxo do vetor de Poynting é igual à energia dissipada por efeito Joule no cabo.
Resposta
Através dos cálculos, demonstramos que o fluxo do vetor de Poynting na superfície do cabo é igual a
, onde
é a resistência elétrica do cabo, confirmando que a energia dissipada por efeito Joule no cabo é igual ao fluxo calculado.