Suponha que um telescópio possa fotografar objetos cuja radiação incidente em seu espelho tenha potência de 2,0 times 10^-13 W. O espelho tem diâmetro de 5,0 m . Uma galáxia típica tem luminosidade de 4,0 0 times 10^38 W. Qual é a distância máxima de uma galáxia típica que pode ser fotografada pelo telescópio?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um telescópio que consegue fotografar galáxias com uma certa potência de radiação no espelho. O que precisamos entender aqui são conceitos de luminosidade, fluxo luminoso e área do espelho do telescópio. A ideia é descobrir até que distância uma galáxia típica pode estar para que sua luz ainda seja detectada pelo telescópio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a luminosidade (L) de uma galáxia é a quantidade total de energia que ela emite por segundo. No caso, a galáxia típica tem uma luminosidade de .

Passo 3

O fluxo luminoso (F) é a quantidade de energia que passa por uma área específica por segundo. Ele diminui com o aumento da distância. A fórmula para o fluxo é:
F = L4pi d^2
onde:
  • é a luminosidade da galáxia,
  • é a distância até a galáxia,
  • é aproximadamente 3,1416.

Passo 4

Agora, o telescópio tem um espelho com diâmetro de 5,0 m. A área (A) do espelho é dada por:
A = pi (D2)^2 = pi (5,02)^2 = pi times 6,25 = 19,635 , m^2

Passo 5

A potência recebida pelo telescópio § é o fluxo luminoso multiplicado pela área do espelho:
P = F times A = L4pi d^2 times A
Queremos que essa potência seja igual ou maior que 4,0 times 10^384pi d^2 times 19,635 >= 2,0 times 10^-13 :

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para encontrar 4,0 times 10^38 times 19,6354pi times 2,0 times 10^-13 >= d^2 :
d^2 <= 4,0 times 10^38 times 19,6354pi times 2,0 times 10^-13

Passo 7

Calculando os valores:
d^2 <= 7,854 times 10^392,513 times 10^-13 approx 3,122 times 10^52
d <= raiz3,122 times 10^52 approx 5,588 times 10^26 , m

Resposta

A distância máxima de uma galáxia típica que pode ser fotografada pelo telescópio é aproximadamente metros.

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