Uma estrela muito massiva, ao queimar um dado percentual de seu hidrogênio, pode sofrer uma violenta explosão denominada supernova. A supernova é o corpo mais luminoso do Universo, e durante semanas pode atingir a luminosidade de cem bilhões de sóis. Suponha que a estrela mais próxima de nós, a AlfaCentauri, distante 4,3 ano-luz explodisse como supernova e sua radiação atingisse a potência de 4,0 times 10^37 W. Calcule a intensidade luminosa (a) em um suposto planeta de Alfa-Centauri dela distante 1,5 times 10^11 m (o que corresponde à distância Terra-Sol) e (b) aqui na Terra. Note que a supernova nos pareceria mais luminosa que o nosso Sol!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre supernovas! A gente vai calcular a intensidade luminosa de uma supernova que explode com uma potência de . Vamos fazer isso em dois lugares diferentes:
a) Em um planeta de Alfa-Centauri, que está a de distância da estrela (a mesma distância que a Terra está do Sol).
b) Aqui na Terra, considerando que Alfa-Centauri está a 4,3 anos-luz de distância.
Para isso, vamos precisar usar a fórmula da intensidade luminosa e saber converter anos-luz para metros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a intensidade luminosa. A intensidade I = P4pi r^2 é a potência dividida pela área através da qual a luz está se espalhando. Para uma fonte que irradia igualmente em todas as direções, a área é a superfície de uma esfera com raio . A fórmula fica assim:
Aqui, é a potência da supernova e é a distância até o ponto onde queremos calcular a intensidade.

Passo 3

Vamos calcular a intensidade no planeta de Alfa-Centauri primeiro.
a) No planeta de Alfa-Centauri ( I = 4,0 times 10^374pi (1,5 times 10^11)^2 )
Usando a fórmula:
4pi (1,5 times 10^11)^2 = 4pi times 2,25 times 10^22 = 9pi times 10^22
Vamos calcular o denominador primeiro:
I = 4,0 times 10^379pi times 10^22 approx 4,028,27 times 10^14 approx 1,414 times 10^14 , W/m²
Então:
²

Passo 4

Agora, vamos calcular a intensidade aqui na Terra. Primeiro, precisamos converter a distância de anos-luz para metros.
Sabemos que r = 4,3 times 9,461 times 10^15 approx 4,07 times 10^16 , m . Então, para 4,3 anos-luz:
I = 4,0 times 10^374pi (4,07 times 10^16)^2
Agora, aplicamos a fórmula da intensidade:
4pi (4,07 times 10^16)^2 = 4pi times 1,66 times 10^33 = 6,64pi times 10^33
Calculando o denominador:
I = 4,0 times 10^376,64pi times 10^33 approx 4,020,85 times 10^3 approx 1,919 times 10^3 , W/m²
Então:
²

Resposta

a) A intensidade luminosa no planeta de Alfa-Centauri �� aproximadamente ².
b) A intensidade luminosa aqui na Terra é aproximadamente ².

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