Um cabo coaxial carrega uma corrente I fio no seu fio condutor interno e uma corrente I casca na sua casca cilíndrica externa. O raio do fio é R fio , a distância entre o eixo do fio e as superfícies interna e externa da casca cilíndrica são, respectivamente, R casca e 2 R casca . Determine as posições nas quais o módulo do campo magnético é nulo (caso existam), nas seguintes três situações:
c) I fio =-I casca / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cabo coaxial com duas correntes: uma no fio interno e outra na casca externa. Precisamos encontrar os pontos onde o campo magnético total é zero. Para isso, vamos usar conceitos de campo magnético e correntes em conduítes cilíndricos, aplicando a Lei de Ampère. Vamos precisar lembrar como calcular o campo magnético em diferentes regiões de um sistema com simetria cilíndrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as regiões do cabo coaxial:
  1. Dentro do fio condutor (r < R_fio): Aqui, a corrente está distribuída uniformemente.
  2. Entre o fio e a casca (R_fio < r < R_casca): O campo magnético é gerado apenas pelo fio interno.
  3. Dentro da casca (R_casca < r < 2 R_casca): Aqui, temos contribuições de ambas as correntes.
  4. Fora do cabo (r > 2 R_casca): O campo magnético resulta da soma das correntes.

Passo 3

Vamos calcular o campo magnético em cada região usando a Lei de Ampère, que nos diz que:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
Para sistemas cilíndricos, isso simplifica para:
B(r) cdot 2pi r = mu0 Ienc
Então, o campo magnético é:
B(r) = mu0 Ienc2pi r

Passo 4

Agora, vamos considerar cada região:
  1. r < R_fio:
    • A corrente dentro de um raio r é proporcional a B(r) = mu0 Ifio r2pi Rfio^2 (distribuição uniforme).
    • B(r) = mu0 Ifio2pi r
    • Campo magnético:
  2. R_fio < r < R_casca:
    • Apenas a corrente do fio está dentro desse raio.
    • B(r) = mu0 (Ifio + Icasca)2pi r
    • Campo magnético: B(r) = mu0 (Ifio + Icasca)2pi r
  3. R_casca < r < 2 R_casca:
    • Correntes do fio e da casca estão dentro, mas a corrente na casca é .
    • Campo magnético:
  4. r > 2 R_casca:
    • Toda a corrente do fio e da casca está incluída.
    • Campo magnético:

Passo 5

Queremos encontrar onde o campo magnético é zero. Então, vamos igualar mu0 Ifio r2pi Rfio^2 = 0 implies Ifio = 0 a zero em cada região e ver se é possível.
  1. r < R_fio:
    Não é o caso, então não há ponto aqui onde mu0 Ifio2pi r = 0 implies Ifio = 0 .
  2. R_fio < r < R_casca:
    mu0 (Ifio + Icasca)2pi r = 0 implies Ifio + Icasca = 0
    Também não ocorre, pois mu0 (Ifio + Icasca)2pi r = 0 implies Ifio + Icasca = 0 .
  3. R_casca < r < 2 R_casca:
    Aqui, se a soma das correntes for zero, temos .
  4. r > 2 R_casca:
    Novamente, só acontece se as correntes se cancelarem.

Passo 6

No caso dado, temos -Icasca2 + Icasca = Icasca2 neq 0 . Vamos verificar a condição :
Portanto, a soma das correntes não é zero. Isso significa que não existe nenhum ponto onde o campo magnético total seja nulo nesse caso.

Resposta

Não existem posições nas quais o módulo do campo magnético seja nulo quando .

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