Um cabo coaxial carrega uma corrente no seu fio condutor interno e uma corrente na sua casca cilíndrica externa. O raio do fio é , a distância entre o eixo do fio e as superfícies interna e externa da casca cilíndrica são, respectivamente, e . Determine as posições nas quais o módulo do campo magnético é nulo (caso existam), nas seguintes três situações:
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cabo coaxial com duas correntes: uma no fio interno e outra na casca externa. Precisamos encontrar os pontos onde o campo magnético total é zero. Para isso, vamos usar conceitos de campo magnético e correntes em conduítes cilíndricos, aplicando a Lei de Ampère. Vamos precisar lembrar como calcular o campo magnético em diferentes regiões de um sistema com simetria cilíndrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as regiões do cabo coaxial:
  1. Dentro do fio condutor (r < R_fio): Aqui, a corrente está distribuída uniformemente.
  2. Entre o fio e a casca (R_fio < r < R_casca): O campo magnético é gerado apenas pelo fio interno.
  3. Dentro da casca (R_casca < r < 2 R_casca): Aqui, temos contribuições de ambas as correntes.
  4. Fora do cabo (r > 2 R_casca): O campo magnético resulta da soma das correntes.

Passo 3

Vamos calcular o campo magnético em cada região usando a Lei de Ampère, que nos diz que:
Para sistemas cilíndricos, isso simplifica para:
Então, o campo magnético é:

Passo 4

Agora, vamos considerar cada região:
  1. r < R_fio:
    • A corrente dentro de um raio r é proporcional a (distribuição uniforme).
    • Campo magnético:
  2. R_fio < r < R_casca:
    • Apenas a corrente do fio está dentro desse raio.
    • Campo magnético:
  3. R_casca < r < 2 R_casca:
    • Correntes do fio e da casca estão dentro, mas a corrente na casca é .
    • Campo magnético:
  4. r > 2 R_casca:
    • Toda a corrente do fio e da casca está incluída.
    • Campo magnético:

Passo 5

Queremos encontrar onde o campo magnético é zero. Então, vamos igualar a zero em cada região e ver se é possível.
  1. r < R_fio:
    Não é o caso, então não há ponto aqui onde .
  2. R_fio < r < R_casca:
    Também não ocorre, pois .
  3. R_casca < r < 2 R_casca:
    Aqui, se a soma das correntes for zero, temos .
  4. r > 2 R_casca:
    Novamente, só acontece se as correntes se cancelarem.

Passo 6

No caso dado, temos . Vamos verificar a condição :
Portanto, a soma das correntes não é zero. Isso significa que não existe nenhum ponto onde o campo magnético total seja nulo nesse caso.

Resposta

Não existem posições nas quais o módulo do campo magnético seja nulo quando .

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a)
Um cabo coaxial carrega uma corrente no seu fio condutor interno e uma corrente na sua casca cilíndrica externa. O raio do fio é , a distância entre o eixo do fio e as superfícies interna e externa da casca cilíndrica são, respectivamente, e . Determine as posições nas quais o módulo do campo magnético é nulo (caso existam), nas seguintes três situações:
b)
Em qual distância radial do centro de um toroide com 200 espiras, a magnitude do campo magnético se iguala àquela produzida por um solenoide de 500 espiras por comprimento? Assuma que a corrente que percorre os dois sistemas é a mesma.
Use a lei de Biot-Savart para determinar o vetor campo magnético (módulo, direção e sentido) produzido por uma espira circular de raio , percorrido por uma corrente ; em um ponto P localizado à uma distância de 70 mm do centro da espira, ao longo do eixo central e perpendicular à espira circular.